浙江省绍兴市2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 0$ 或 $x \geq 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 0]$ D、 $[0, 1)$

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2. 已知i是虚数单位，若 $z = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x + y \leq 2 \\ x - 3 y \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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4. 函数 $f (x) = \log_{a} (x + \frac{a}{x}) (a > 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $8 + π$ B、 $\frac{8}{3} + π$ C、 $8 + \frac{π}{3}$ D、 $\frac{8 + π}{3}$

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6. 设 $m \in R$ ，则“ $1 \leq m \leq 2$ ”是“直线 $l : x + y - m = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m + 2 = 0$ 有公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 不可能是等差数列 B、数列 ${\frac{S_{n}}{n^{2}}}$ 不可能是等差数列 C、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 不可能是等差数列 D、数列 ${\frac{a_{n}}{S_{n}}}$ 不可能是等差数列

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8. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a^{2} + b^{2} - a b = 3 ， | a^{2} - b^{2} | \leq 3$ ，则a+b的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和点 $M (\frac{a^{2} - b^{2}}{a}, 0)$ ，若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足 $\vec{P M} = λ \vec{M Q} (0 < λ < \frac{1}{2})$ ，则椭圆C的离心率取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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10. 已知a，b ， $c \in R$ ，若关于x不等式 $0 \leq x + \frac{a}{x} + b \leq \frac{c}{x} - 1$ 的解集为 $[x_{1}, x_{2}] \cup {x_{3}} (x_{3} > x_{2} > x_{1} > 0)$ ，则（）

A、不存在有序数组 $(a, b, c)$ ，使得 $x_{2} - x_{1} = 1$ B、存在唯一有序数组 $(a, b, c)$ ，使得 $x_{2} - x_{1} = 1$ C、有且只有两组有序数组 $(a, b, c)$ ，使得 $x_{2} - x_{1} = 1$ D、存在无穷多组有序数组 $(a, b, c)$ ，使得 $x_{2} - x_{1} = 1$

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二、填空题

11. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， $S_{n}$ 为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 $S_{3} =$ 尺.

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12. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是棱 $A_{1} A$ 上的动点，N是棱 $B C$ 的中点.当平面 $D_{1} M N$ 与底面 $A B C D$ 所成的锐二面角最小时， $A_{1} M =$ .

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13. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足： $| \vec{a} | = 2, | \vec{a} - \vec{b} | = 1, | \vec{b} | = | \vec{c} |, (\vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{c} |$ 的最大值是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - {(x + 1)}^{2} + 7, x \leq 1 \\ \log_{2} x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (0) =$ ；关于x的不等式 $f (x) > 7$ 的解集是.

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15. 已知二项展开式 ${(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .(用数字作答)

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B所对的边分别为a，b ，若 $A = 2 B ， b = 2$ ，则 $\frac{a}{\cos B} =$ ；边长a的取值范围是.

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17. 袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球则涂成黑球，若摸得黑球则不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 0) =$ ； $E (ξ) =$ .

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三、解答题

18. 已领函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4 ， B C = 2 ， A_{1} C = 2 \sqrt{3} ， A C ⊥ B C ， ∠ A_{1} A B = 60 °$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、设点D为 $C C_{1}$ 的中点，求直线 $A_{1} D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{4} = 1$ ，且 $a_{4} ， a_{5} ， a_{7}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足： $c_{1} = - \frac{1}{2}, c_{n + 1} = c_{n} - \frac{a_{n}}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，求使得 $c_{n} \geq \frac{n - 2}{16}$ 成立的所有n值.

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 4 y$ 和椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 如图，经过抛物线 $C_{1}$ 焦点F的直线l分别交抛物线 $C_{1}$ 和椭圆 $C_{2}$ 于A，B，C，D四点，抛物线 $C_{1}$ 在点A，B处的切线交于点P.

(1)、求点P的纵坐标；

(2)、设M为线段 $A B$ 的中点， $P M$ 交 $C_{1}$ 于点Q ， $B Q$ 交 $A P$ 于点T.记 $△ T C D ， △ Q B P$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ .
（i）求证：Q为线段 $P M$ 的中点；

（ii）若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{8}{7}$ ，求直线l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = (a x - \sqrt{2 x - 1}) e^{- x}$ (其中 $0 < a < 2$ ，e为自然对数的底数).

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 的极小值点为m ，极大值点为n ，证明：当 $x \in (m ， n)$ 时， $f (x) - x \ln x < \frac{a - 1}{e}$ .

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