山西省临汾市2021届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} ﹣ 4 x + 3 \leq 0}$ ， $B = {x \in N | 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 若 $z = \frac{i^{3}}{1 + 2 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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3. 已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\overset{⇀}{B C} = - 2 \overset{⇀}{a} + 8 \overset{⇀}{b}$ ， $\vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、A，B，D三点共线 B、A，B，C三点共线 C、B，C，D三点共线 D、A，C，D三点共线

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4. 曲线 $y = x^{2} + 2 e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + 2 y + 2 = 0$ B、 $2 x + y + 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $2 x - y + 2 = 0$

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5. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图（1）所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图（2）的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为 $12 cm$ 的作品烧制成功后直径缩小到 $9 cm$ ．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为 $18 \sqrt{2} {cm}^{3}$ 的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（）

A、6cm B、7cm C、8cm D、9cm

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6. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} ＝ 2 a_{n} + 1$ ，则 $S_{10} ＝$ （）

A、﹣1024 B、﹣1023 C、1023 D、1024

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7. 函数 $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $θ = \frac{π}{3}$ ，则下列各数中最大的是（）

A、 $\sin (\sin θ)$ B、 $\sin (\cos θ)$ C、 $\cos (\sin θ)$ D、 $\cos (\cos θ)$

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9. 1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的 $\frac{1}{3}$ 部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 $\frac{1}{3}$ 部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（）（ $π \approx 3$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、577 B、537 C、481 D、331

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10. 已知 $f (x) ＝ 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 同时满足以下条件：
①当 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 最小值为 $\frac{π}{2}$ ；② $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{7 π}{12} - x)$ ；③ $f (0) > f (\frac{π}{4})$ ．若 $f (x) = a$ 在 $[0 ， π]$ 有2个不同实根 $m$ ， $n$ ，且 $| m - n | \geq \frac{π}{3}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{3}]$ D、 $[- 1 ， 1)$

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11. 过椭圆内定点 $M$ 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 $M$ 的“好弦”．在椭圆 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 中，过点 $M (4 \sqrt{3}, 0)$ 的所有“好弦”的长度之和为（）

A、120 B、130 C、240 D、260

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $α ⊥ B_{1} D$ ，则以平面 $α$ 截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以 $B_{1}$ 为顶点的锥体的外接球的表面积为（）

A、12π B、 $\frac{25 π}{3}$ C、 $\frac{20 π}{3}$ D、6π

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二、填空题

13. 抛物线y=4x²的焦点坐标是．

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ y \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + 2 y$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) - \frac{1}{2^{x} + 1}$ ，若 $f (\log_{2} a) = 2$ ，则 $f (\log_{\frac{1}{2}} a) =$ ．

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16. 对于一个函数 $y = f (x) (x \in D)$ ，若存在两条距离为 $d$ 的直线 $y = k x + m_{1}$ 和 $y = k x + m_{2}$ ，使得 $k x + m_{1} \leq f (x) \leq k x + m_{2}$ 在 $x \in D$ 时恒成立，称函数 $f (x)$ 在 $D$ 内有一个宽度为 $d$ 的通道．则下列函数在 $[1 ， + \infty)$ 内有一个宽度为1的通道的有．（填序号即可）
① $f (x) = \frac{1}{2} (\sin + \cos x)$ ；

② $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ；

③ $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ；

④ $f (x) = x + \frac{2}{3} \cos x$ ．

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三、解答题

17. 如图，在多面体 $B C E - A D F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 都是直角梯形，且 $∠ B A D = ∠ B A F = 90 °$ ， $B C \underline{\underline{/ /}} \frac{1}{2} A D$ ， $B E \underline{\underline{/ /}} \frac{1}{2} A F$ ．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $A D F$ ；

(2)、若平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = B C = B E$ ，求二面角 $A - C D - E$ 的余弦值．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $c (\sin A - \cos A) = a (\cos C - \sin C)$ ．

(1)、记 $A C$ 边上的高为 $h$ ，求 $\frac{b}{h}$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ， $a = 1$ ，求 $b$ ．

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19. 这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格：

潜伏期（天）	$(0, 2]$	$(2, 4]$	$(4, 6]$	$(6, 8]$	$(8, 10]$	$(10, 12]$	$(12, 14]$
人数	600	1900	3000	2500	1600	250	150

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？

	潜伏期 $\leq 8$ 天	潜伏期 $> 8$ 天	总计
60岁以上（含60岁）			150
60岁以下	30
总计			200

(2)、依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有可能是多少？

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20. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 有两个相同的顶点，且 $C_{2}$ 的焦点到其渐近线的距离恰好为 $C_{1}$ 的短半轴的长度．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、过点 $T (t, 0) (t \in (- a, 0) \cup (0, a))$ 作不垂直于坐标轴的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得 $M T$ 平分 $∠ A M B$ ？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = k e^{x - 1} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = \ln x - x + \frac{f (x)}{x}$ 有三个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），求 $g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3})$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos ϕ \\ y = \sin ϕ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < π, ρ \in R)$ ，点 $A$ 是曲线 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 的交点，点 $B$ 是曲线 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点， $A$ ， $B$ 均异于极点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，求 $α$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | 2 x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、 $\exists x_{0} \in R$ 使得 $f (x_{0}) - m \leq m x_{0}$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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