山东枣庄2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \ln x}$ ， $B = {y \in Z | y = 2 \sin x}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[0, 2]$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 命题“ $\forall n \in N$ ， $n^{2} - 1 \in Q$ ”的否定为（）

A、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} - 1 \notin Q$ B、 $\forall n \notin N$ ， $n^{2} - 1 \in Q$ C、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} - 1 \notin Q$ D、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} - 1 \in Q$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + \ln 2}, x \leq 0, \\ f (x - 3), x > 0, \end{array}$ 则 $f (2021) =$ （）

A、 $\frac{2}{e}$ B、 $2 e$ C、 $\frac{2}{e^{2}}$ D、 $2 e^{2}$

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4. 已知点 $(1, 1)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则 $C$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5. 大数学家欧拉发现了一个公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ， $i$ 是虚数单位， $e$ 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， ${(\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})}^{2022} =$ （）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）

A、1 B、-1 C、i D、 $- i$

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6. 若 $x^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + \dots + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、20 B、-20 C、15 D、-15

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7. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率 $x \sim N (0.9372, {0.0139}^{2})$ .若 $x \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (μ - 2 σ < x \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < x \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ， ${0.97725}^{50} \approx 0.3164$ .有如下命题：甲： $P (x \leq 0.9) < 0.5$ ；乙： $P (x < 0.4) > P (x > 1.5)$ ；丙： $P (x > 0.9789) = 0.00135$ ；丁：假设生产状态正常，记 $X$ 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于 $μ + 2 σ$ 的数量，则 $P (X \geq 1) \approx 0.6$ .其中假命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 已知椭圆 $C$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的左焦点 $F_{1}$ 、右焦点 $F_{2}$ ，点 $P$ 是两曲线的一个交点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ .过 $F_{2}$ 作倾斜角为45°的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的上方），且 $\vec{A B} = λ \vec{A F_{2}}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $3 + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b < \frac{5}{4}$ B、 $a - b > - 1$ C、 $\sqrt{a} \cdot b \leq \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{a}}{b - 2} \geq - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = | \sin x | + \sqrt{3} | \sin (x - \frac{π}{2}) |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上的最小值是 $1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ C、直线 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 是 $f (x)$ 图象的对称轴 D、直线 $y = \frac{2}{π} x$ 与 $f (x)$ 的图象恰有 $2$ 个公共点

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11. 列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用 $F (n) (n \in N^{*})$ 表示斐波那契数列的第 $n$ 项，则数列 ${F (n)}$ 满足： $F (1) = F (2) = 1$ ， $F (n + 2) = F (n + 1) + F (n)$ .斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法，苹果公司的Logo设计，电影《达·芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子.下列选项正确的是（）

A、 ${[F (8)]}^{2} = F (7) F (9) + 1$ B、 $F (1) + F (2) + \cdot \cdot \cdot + F (6) + 1 = F (8)$ C、 $F (2) + F (4) + \cdot \cdot \cdot + F (2 n) = F (2 n + 1) - 2$ D、 ${[F (1)]}^{2} + {[F (2)]}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {[F (n)]}^{2} = F (n) \cdot F (n + 1)$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 是 $△ B_{1} C D_{1}$ 内部(不包括边界)的动点，若 $B D ⊥ A P$ ，则线段 $A P$ 长度的可能取值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为．

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14. 如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 $E F G H$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ 中， $\vec{A F} = 3 \vec{A E}$ .设 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x + y$ 的值为.

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15. 写出一个图象关于直线 $x = 2$ 对称且在 $[0 ， 2]$ 上单调递增的偶函数 $f (x) =$ .

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16. 2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
⑴若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；

⑵若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；

⑶若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.

该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：

方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；

方案二：一次性付款购买.

若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ .记 $b_{n} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，求证：

(1)、 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足： $\frac{b_{2}}{T_{1} \cdot T_{2}} + \frac{b_{3}}{T_{2} \cdot T_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{b_{n + 1}}{T_{n} \cdot T_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ .

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18. 若 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (0) = \frac{1}{2}$ ， $f (\frac{5 π}{12}) = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ， $f (\frac{A - B}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos \frac{A - B}{2}$ ，并证明 $\sin A > \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $F$ 在棱 $C C_{1}$ 上，过 $B$ ， $D_{1}$ ， $F$ 三点的正方体的截面 $α$ 与直线 $A A_{1}$ 交于点 $E$ .

(1)、找到点 $E$ 的位置，作出截面 $α$ （保留作图痕迹），并说明理由；

(2)、已知 $C F = a$ ，求 $α$ 将正方体分割所成的上半部分的体积 $V_{1}$ 与下半部分的体积 $V_{2}$ 之比.

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20. 天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对 $A$ ， $B$ ， $C$ 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.

题目

$A$

$B$

$C$

做对的概率

0.8

0.6

0.4

获得的奖金/元

1000

2000

3000

规则如下：按照 $A$ ， $B$ ， $C$ 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.

(1)、求甲获得的奖金 $X$ 的分布列及均值；

(2)、如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）

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21. 已知动点 $M$ 与两个定点 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 0)$ 的距离的比为 $\frac{1}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的轨迹方程，并说明其形状；

(2)、过直线 $x = 3$ 上的动点 $P (3 ， p) (p \neq 0)$ 分别作 $C$ 的两条切线 $P Q$ 、 $P R$ （ $Q$ 、 $R$ 为切点）， $N$ 为弦 $Q R$ 的中点，直线 $l$ ： $3 x + 4 y = 6$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $E$ 、 $F$ ，求 $△ N E F$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a \cos x + 1 - e^{\frac{π}{2} - x}$ ，且 $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 的值，并判断 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的单调性；.

(2)、对确定的 $k \in N^{*}$ ，求 $f (x)$ 在 $[2 k π + \frac{π}{2} ， 2 k π + π]$ 上的零点个数.

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题目	$A$	$B$	$C$
做对的概率	0.8	0.6	0.4
获得的奖金/元	1000	2000	3000