山东省日照市2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复平面内表示复数 $z = i (a - i)$ （ $a < 0$ ）的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = {x | 2 x + 3 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \frac{3}{2}, 1)$ B、 $(- \frac{3}{2}, - 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- 2, 1)$

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3. 要将甲、乙、丙、丁4名同学分到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到 $A$ 班的分法种数为（）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $36$

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4. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 $\sin 2 α$ 约为（）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{12}{37}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 函数 $y = a^{3 - x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）上，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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6. 如图所示，单位圆上一定点 $A$ 与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿 $x$ 轴正向滚动一周，则 $A$ 点形成的轨迹为（）

A、
B、

C、
D、

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7. 将函数 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $y = f (x)$ 的周期为π C、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为 $2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ .过 $A B$ 、 $B B_{1}$ 的中点 $E$ 、 $F$ 作平面 $α$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 垂直，则所得截面周长为（）

A、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. PM2.5是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值达到 $35 {μg/m}^{3}$ 为超标.如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位： ${μg/m}^{3}$ ）的日均值，则下列说法正确的是（）

A、这10天中有3天空气质量为一级 B、从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低 C、这10天中PM2.5日均值的中位数是55 D、这10天中PM2.5日均值的平均值是45

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10. 已知 $x_{1} + \log_{3}^{x_{1}} = 0$ ， $x_{2} + \log_{2}^{x_{2}} = 0$ ，则（）

A、 $0 < x_{2} < x_{1} < 1$ B、 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $x_{2} \lg x_{1} - x_{1} \lg x_{2} < 0$ D、 $x_{2} \lg x_{1} - x_{1} \lg x_{2} > 0$

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11. 已知函数 $f (x)$ 对于任意 $x \in R$ ，均满足 $f (x) = f (2 - x)$ .当 $x \leq 1$ 时 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， 0 < x \leq 1 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = m | x | - 2 - f (x)$ ，下列结论正确的为（）

A、若 $m < 0$ ，则 $g (x)$ 恰有两个零点 B、若 $\frac{3}{2} < m < e$ ，则 $g (x)$ 有三个零点 C、若 $0 < m \leq \frac{3}{2}$ ，则 $g (x)$ 恰有四个零点 D、不存在 $m$ 使得 $g (x)$ 恰有四个零点

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12. 已知正方体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $N$ 为 $A B C D$ 所在平面上一动点，则下列命题正确的是（）

A、若 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $N$ 的轨迹为圆 B、若 $M N = 4$ ，则 $M N$ 的中点 $P$ 的轨迹所围成图形的面积为 $2 π$ C、若点 $N$ 到直线 $B B_{1}$ 与直线 $D C$ 的距离相等，则点 $N$ 的轨迹为抛物线 D、若 $D_{1} N$ 与 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $N$ 的轨迹为双曲线

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 1)$ 在区间 $[a, 2 a]$ 上的最大值是最小值的 $3$ 倍，则 $a =$ .

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14. 为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了米.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x + 1} + a}{3^{x} + 1}$ （ $a \geq 3$ ），若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in R$ ，总有 $f (x_{1})$ ， $f (x_{2})$ ， $f (x_{3})$ 为某一个三角形的边长，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点， $E$ 为双曲线 $C$ 的右顶点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ ，两点（其中点 $A$ 在第一象限），设 $M$ ， $N$ 分别为 $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心，则 $| M E | - | N E |$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，若 $2 a \sin A = (2 \sin B + \sin C) b + (2 \sin C + \sin B) c$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、求 $\sin B + \sin C$ 的最大值.

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18. 在①已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0$ ， $a_{3} = 8$ ②等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q = 2$ ，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ 数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $2 T_{n} > m - 2022$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最大值.

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $B D = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折到 $△ P A C$ 的位置使得 $P D = 4$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于 $n$ ，（ $n \in N^{*}$ ）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 $n$ 次：二是混合检验，将 $k$ 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 $k$ 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 $k$ 份检验的次数共为 $k + 1$ 次，若每份样本没有该病毒的概率为 $\sqrt{p}$ （ $0 < p < 1$ ），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求2份样本混合的结果为阳性的概率；

(2)、若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.

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21. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，动点 $G$ 到 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ 两点的距离之和为4.

(1)、试判断动点 $G$ 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程 $C$ ；

(2)、已知直线 $L$ : $y = k (x - \sqrt{3})$ 与圆 $F$ : ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，其中 $M$ 、 $P$ 在第一象限. $d$ 为原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离，是否存在实数 $k$ ，使得 $T = (| N Q | - | M P |) \cdot d^{2}$ 取得最大值，若存在，求出 $k$ ；不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ， $g (x) = k x^{2}$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、令 $a = 1$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq \frac{g (x)}{\ln (x + 1)} - x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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