山东省青岛市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = \log_{2} x, x > 4}$ ， $B = {x \in R | y = x^{\frac{1}{2}}}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, 2]$ D、 $(0, 2)$

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2. 若 $α$ ， $β$ 表示两个不同的平面， $m$ 为平面 $α$ 内一条直线，则（）

A、“ $m // β$ ”是 $α // β$ 的充分不必要条件 B、“ $m // β$ ”是 $α // β$ 的必要不充分条件 C、“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的必要不充分条件 D、“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”充要条件

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3. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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4. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， $| z | = | O Z |$ ，也即复数 $z$ 的模的几何意义为 $z$ 对应的点 $Z$ 到原点的距离．在复平面内，复数 $z_{0} = \frac{a + 2 i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ）是纯虚数，其对应的点为 $Z_{0}$ ， $Z$ 为曲线 $| z | = 1$ 上的动点，则 $Z_{0}$ 与 $Z$ 之间的最小距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{3} (x + 1), x \geq 0 \\ 2^{x}, x < 0 \end{array}$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (\sqrt{3} - 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, \sqrt{3} - 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\sqrt{3} - 1, + \infty)$

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6. 已知角 $θ$ 终边上有一点 $P (\tan \frac{4}{3} π, 2 \sin (- \frac{17}{6} π))$ ，则 $\cos θ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知 $y = f (x)$ 为奇函数， $y = f (x + 1)$ 为偶函数，若当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + a)$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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8. 在抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 第一象限内一点 $(a_{n} ， y_{n})$ 处的切线与 $x$ 轴交点横坐标记为 $a_{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，已知 $a_{2} = 32$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $m \geq S_{n}$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为（）

A、16 B、32 C、64 D、128

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二、多选题

9. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - k x + 2 y + \frac{1}{4} k^{2} - k + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $k$ 的取值范围是 $k > 0$ B、若 $k = 4$ ，过 $M (3, 4)$ 的直线与圆 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，方程为 $12 x - 5 y - 16 = 0$ C、若 $k = 4$ ，圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交 D、若 $k = 4$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，直线 $m x - n y - 1 = 0$ 恒过圆 $C$ 的圆心，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} \geq 8$ 恒成立

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10. 已知 $\vec{a} = (2 \sin^{4} \frac{x}{2}, \cos^{4} \frac{x}{2} - f (x))$ ， $\vec{b} = (1, - \frac{1}{2})$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则下列说法正确的是（）

A、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $y = \frac{1}{4} \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \frac{3}{4}$ 的图象 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减

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11. 若实数 $a < b$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{5})}^{b} < {(\frac{2}{5})}^{a} < {(\frac{3}{5})}^{a}$ B、若 $a > 1$ ，则 $\log_{a} a b > 2$ C、若 $a > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{1 + a} > \frac{a^{2}}{1 + b}$ D、若 $m > \frac{5}{3}$ ， $a$ ， $b \in (1, 3)$ ，则 $\frac{1}{3} (a^{3} - b^{3}) - m (a^{2} - b^{2}) + a - b > 0$

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12. 在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽 $20 \sqrt{3}$ 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）

A、斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 $120^{\circ}$ B、过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 $100 \sqrt{3}$ 平方厘米 C、若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 $1600 π$ 平方厘米 D、此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 $20 \sqrt{3} - 30$ 厘米

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三、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为。（用数字作答）

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$

0.05

0.025

0.010

0.001

$k$

3.841

5.024

6.635

10.828

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16. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 $Z$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，圆 $F$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 与抛物线 $Z$ 在第一象限的交点为 $P (m ， \frac{m^{2}}{4})$ ，直线 $l$ ： $x = t (0 < t < m)$ 与抛物线 $Z$ 的交点为 $A$ ，直线 $l$ 与圆 $F$ 在第一象限的交点为 $B$ ，则 $m =$ ； $△ F A B$ 周长的取值范围为．

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四、解答题

17. 从“① $S_{n} = n (n + \frac{a_{1}}{2})$ ；② $S_{2} = a_{3}$ ， $a_{4} = a_{1} a_{2}$ ；③ $a_{1} = 2$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ ， $a_{8}$ 的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d$ 不等于零，______， $n \in N^{*}$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = S_{2^{n + 1}} - S_{2^{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $W_{n}$ ，求 $W_{n}$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 是线段 $B C$ （含端点）上的动点，且点 $E$ 在点 $F$ 的右下方，在运动的过程中，始终保持 $∠ E A F = \frac{π}{4}$ 不变，设 $∠ E A B = θ$ 弧度．

(1)、写出 $θ$ 的取值范围，并分别求线段 $A E$ ， $A F$ 关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、求 $△ E A F$ 面积 $S$ 的最小值．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $P A = A D = 2$ ， $C D = 1$ ， $B C = 3$ ，点 $M$ ， $N$ 在线段 $B C$ 上， $B M = 2 M N = 1$ ， $A N \cap M D = E$ ， $Q$ 为线段 $P B$ 上的一点．

(1)、求证： $M D ⊥$ 平面 $P A N$ ；

(2)、若平面 $M Q A$ 与平面 $P A N$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求直线 $M Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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20. 某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动．今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包 $A$ （十斤肉类）礼包 $B$ （十斤蔬菜）和礼包 $C$ （十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券根据以往经验得知，会员购买礼包 $A$ 和礼包 $B$ 的概率均为 $\frac{2}{5}$ ．

(1)、预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；

(2)、在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包 $A$ 或礼包 $B$ 均可以获得50元商场代金券，购买礼包 $C$ 可以获得25元商场代金券，设 $Y$ 是三人获得代金券金额之和．求 $Y$ 的分布列和数学期望．

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21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，上顶点为 $A_{2}$ ，点 $P (a ， b)$ 到直线 $F_{2} A_{2}$ 的距离等于1．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + m (m > 0)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $D$ 为 $A B$ 中点，直线 $D E$ ， $D F$ 分别与圆 $W$ ： $x^{2} + {(y - 3 m)}^{2} = m^{2}$ 相切于点 $E$ ， $F$ ，求 $∠ E W F$ 的最小值．

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22. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x ， f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{| {f^{'}}^{'} (x) |}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ ．已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - b \cos (x - 1) (a \geq 0 ， b > 0)$ ，若 $a = 0$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的曲率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $1.098 < \ln 3 < 1.099$ ， $e^{0.048} < 1.050$ ， $e^{- 0.045} < 0.956$ ，证明： $1.14 < \ln π < 1.15$ ．

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$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.025	0.010	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	10.828