山东省济宁市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x > 0}$ ， $B = {x | 2^{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup [- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + i,$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a = \sin 2$ ， $b = \log_{2} 0.2$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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4. 随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，2020年7月份到12月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为（）

A、48吨 B、54吨 C、60吨 D、66吨

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5. 若 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - m x^{2})}^{5} (m \in R)$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是80，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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6. 为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区部分人员，调查了2020年其人均纯收入状况．经统计，这批人员的年人均纯收入数据（单位：百元）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采取分层抽样的方法，从 $[55 ， 60)$ ， $[60 ， 65)$ ， $[65 ， 70)$ 这三个区间中随机抽取6人，再从6人中随机抽取3人，则这三人中恰有2人年人均纯收入位于 $[60 ， 65)$ 的概率是（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 已知 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 均为单位向量，且满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{19}{8}$

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8. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M$ 是双曲线 $E$ 上的任意一点（不是顶点），过 $F_{1}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 角平分线的垂线，垂足为 $N$ ， $O$ 是坐标原点．若 $| O N | = \frac{| F_{1} F_{2} |}{4}$ ，则双曲线 $E$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x < 0$ ，使得 $x^{2} - x - 2 > 0$ ”的否定是“ $\forall x < 0$ ，使得 $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ” B、设随机变量 $ζ \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ζ < 3 a - 1) = P (ζ > a + 2)$ ，则 $a = \frac{1}{4}$ C、正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为5 D、 ${a_{n}}$ 是等比数列，则“ $a_{1} + a_{3} < 2 a_{2}$ ”是“ $a_{1} < 0$ ”的充分不必要条件

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10. 将函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 C、函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域是 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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11. 如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是减函数 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上有且仅有一个极值点

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三、填空题

13. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x}, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 5) =$ ．

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15. 实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则 $\sqrt{3} x + y$ 的取值范围是．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 4$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面 $E F G$ 平行，当三角形 $B B_{1} P$ 的面积最小时，三棱锥 $A - B B_{1} P$ 的外接球的体积是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值．

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18. 在① $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ ；② $S_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3$ ；③ $a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 24$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 ▲ （ $n \in N^{*}$ ），若 $b_{n} = a_{n} \cdot \log_{2} \frac{a_{n + 1}}{3}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）：

	能正确进行垃圾分类	不能正确进行垃圾分类	总计
55岁及以下	90	30	120
55岁以上	50	30	80
总计	140	60	200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024

(1)、根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？

(2)、将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为

X

，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量

X

的分布列和均值

E (X)

．

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20. 如图所示多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ A D E$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 2$ ， $C F = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的上顶点与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 重合，且抛物线 $C_{2}$ 经过点 $P (2, 1)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与椭圆 $C_{1}$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，若直线 $P F$ 平分 $∠ A P B$ ，四边形 $O C P D$ 能否为平行四边形？若能，求实数 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = (a - 1) \ln x + \frac{x^{2}}{2} - a (x - 1) (a > 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (m) = f (1)$ 且 $m \neq 1$ ，证明： $\forall x \in (1 ， m]$ ， $(a - 1) \ln x > x - 1$ ．

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