山东省德州市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{16 - x^{2}}}$ ， $B = {x | \lg (x - 2) \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $(2, 3]$ B、 $[- 4, 4]$ C、 $[2, 4)$ D、 $(2, 4]$

查看试题解析
2. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i^{3}}$ 的共轭复数的虚部为（）．

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 已知 $a, b \in R$ ，则 $a < b$ 是 $a^{2} (e^{a} - e^{b}) < 0$ 的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
5. 已知 $\sin α = \sin (α + \frac{π}{3}) + \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{6})$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} 〉 =$ （）．

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $- \frac{2}{7}$ D、 $- \frac{5}{7}$

查看试题解析
7. 设函数 $f (x) = x e^{x} - a (x - 1)$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < a$ ，则 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $[- \frac{1}{e^{2}}, 1)$ B、 $[- \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ C、 $[\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{1}{e^{2}}, 1)$

查看试题解析
8. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列．如果函数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ ，数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} - 2}{x_{n} + 1}$ 且 $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021} =$ （）．

A、 $2^{2021} - 1$ B、 $2^{2021} - 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - \frac{1}{2}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - 2$

查看试题解析

二、多选题

9. 2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）．

A、过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差 B、过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值 C、过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数 D、过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率．

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，将函数 $f (x)$ 的图像上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{2}{3}$ ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）．

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{9} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{4 π}{9}$ 对称 D、 $g (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{9} ， 0)$ 成中心对称

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $A$ 、 $B$ 分别为双曲线的左、右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的右支上异于点 $B$ 的任意一点，记 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）．

A、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ B、双曲线的离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、若 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，满足 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + x S_{△ I F_{1} F_{2}} (x \in R)$ ，则 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

查看试题解析
12. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上（不含端点）且 $B E = B F$ ，将 $△ A E D$ ， $△ D C F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ 折起，使 $A$ 、 $C$ 两点重合于点 $A_{1}$ ，则下列结论正确的有（）．

A、 $A_{1} D ⊥ E F$ B、当 $B E = B F = \frac{1}{2} B C$ 时，三棱锥 $A_{1} - D E F$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$ C、当 $B E = B F = \frac{1}{4} B C$ 时，三棱锥 $A_{1} - D E F$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$ D、当 $B E = B F = \frac{1}{4} B C$ 时，点 $A_{1}$ 到平面 $D E F$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{17}}{7}$

查看试题解析

三、填空题

13. 若二项式 ${(1 + 2 x)}^{n} (n \in N_{+})$ 的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有 $x^{3}$ 项的系数为．

查看试题解析
14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，点 $A$ 、 $B$ 在抛物线上，且分别位于 $x$ 轴的上、下两侧，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，则直线 $A B$ 过定点．

查看试题解析
15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P$ 、 $A B$ 、 $A C$ 三条棱两两垂直，且长度均为 $2 \sqrt{3}$ ，以顶点 $P$ 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为．

查看试题解析
16. 设定义在 $D$ 上的函数 $y = f (x)$ 在点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $l ： y = g (x)$ ，当 $x \neq x_{0}$ 时，若 $\frac{g (x) - f (x)}{x - x_{0}} < 0$ 在 $D$ 内恒成立，则称 $P$ 点为函数 $y = f (x)$ 的“类对称中心点”，则函数 $h (x) = \frac{x^{2}}{2 e} + \ln x$ 的“类对称中心点”的坐标为．

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $a \sin C = c \sin (A + \frac{π}{3})$ ，② $b = a \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin A$ ，③ $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos A$ ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 外接圆面积为 $\frac{4}{3} π$ ， $\sin B = 2 \sin C$ ，且 ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

查看试题解析

19. 2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记

Y

表示了解，

N

表示不了解，统计结果如下表所示：

（表一）

了解情况	$Y$	$N$
人数	140	60

（表二）

	男	女	合计
$Y$	80
$N$		40
合计

附：临界值参考表的参考公式

$p (K^{2} \geq K_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$K_{0}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、请根据所提供的数据，完成上面的

2 \times 2

列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;

(2)、用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为

P_{1}

，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为

P_{2}

．试求出

P_{1}

与

P_{2}

，并比较

P_{1}

与

P_{2}

的大小．

查看试题解析

20. 如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D // B C$ ， $B M ⊥ A D$ 于 $M$ ， $C N ⊥ A D$ 于 $N$ ， $∠ A = 45 °$ ， $A D = 4 B C = 4$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，现沿 $C N$ 将 $△ C D N$ 折起，使 $△ A D N$ 为正三角形，且平面 $A D N ⊥$ 平面 $A B C N$ ，过 $B M$ 的平面与线段 $D N$ 、 $D C$ 分别交于 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ D A$ ；

(2)、在棱 $D N$ 上（不含端点）是否存在点 $E$ ，使得直线 $D B$ 与平面 $B M E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ，若存在，请确定 $E$ 点的位置；若不存在，说明理由．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，椭圆上的点到焦点 $F_{1}$ 的距离的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ ，以椭圆 $E$ 的短轴为直径的圆过点 $(2, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $C$ ， $D$ 两点，且 $A B ⊥ C D$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x e^{3 x} - (a + 1) \ln x + \frac{2}{x} - 1$ ， $g (x) = - a \ln x + (a + 2) x + \frac{2}{x}$ ．定义新函数 $d (f ， g) = {| f (x) - g (x) |}_{\min}$ ．

(1)、当 $a \leq - 2$ 时，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若新函数 $d (f ， g)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析