山东省滨州市2021届高三数学第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（）

A、4 B、7 C、8 D、16

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2. 棣莫弗公式 ${[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ （ $i$ 为虚数单位， $r > 0$ ）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数 ${[2 (\cos \frac{π}{7} + i \sin \frac{π}{7})]}^{15}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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4. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则（）

A、 $f (\log_{4} 3) < f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (2^{\frac{1}{2}})$ B、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (\log_{4} 3) < f (2^{\frac{1}{2}})$ C、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (2^{\frac{1}{2}}) < f (\log_{4} 3)$ D、 $f (2^{\frac{1}{2}}) < f (\log_{4} 3) < f (\log_{3} \frac{1}{4})$

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5. 如图，斜线段 $A B$ 与平面 $α$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ， $B$ 为斜足．平面 $α$ 上的动点 $P$ 满足 $∠ P A B = \frac{π}{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，向量 $\vec{m} = (a + 2 b, - 9)$ ， $\vec{n} = (8, a b)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $\frac{5}{4}$ D、5

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7. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = x + 2$ ，设函数 $h (x) = e^{- | x - 2 |} (- 2 < x < 6)$ （ $e$ 为自然对数的底数），则 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象所有交点的横坐标之和为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若对于满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 4$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = \frac{π}{6}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、多选题

9. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 5$ B、直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ C、存在点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，则点 $P$ 的横坐标为 $\pm \sqrt{5}$

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10. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2} (n \geq 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3}$ D、 $S_{20} = \frac{2}{3} (4^{10} - 1)$

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11. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ ， $e$ 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（）

A、 $x_{2} e^{x_{1}} < x_{1} e^{x_{2}}$ B、 $x_{2} e^{x_{1}} > x_{1} e^{x_{2}}$ C、 $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} > \ln x_{2} - \ln x_{1}$ D、 $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < \ln x_{2} - \ln x_{1}$

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12. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{12}$ D、 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 某公司对近5年的年广告支出 $x$ （单位：万元）与年利润 $y$ （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示：

年广告支出 $x$

1

2

3

4

5

年利润 $y$

5

6

$a$

8

10

由上表中数据求得年广告支出 $x$ 与年利润 $y$ 满足线性回归方程 $\hat{y} = 1.2 x + 3.6$ ，则 $a$ 的值为．

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14. ${(x + y - z)}^{6}$ 的展开式中 $x y^{2} z^{3}$ 的系数是．

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，以 $F$ 为圆心的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线相切于第一象限内的一点 $B$ ．若直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 现有一半径为 $R$ 的圆形纸片，从该圆形纸片上裁下一个以圆心为中心，以 $R$ 为半径的扇形纸片，并将扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的体积的最大值是；此时，扇形的圆心角为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ ， $a_{n} = 2 \log_{2} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 中不在数列 ${b_{n}}$ 中的项按从小到大的顺序构成数列 ${c_{n}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{100}$ ．

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18. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $E$ 是 $B D$ 的中点，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ．

(1)、若 $∠ A B D = \frac{π}{4}$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、若 $A C = 3$ ，求 $\cos ∠ B A D$ ．

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19. 如图1所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形．过点 $A$ 的平面与棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 分别相交于 $E$ ， $F$ ， $G$ 三点，且 $C F = 3$ ， $D G = 2$ ．

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、若平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是侧棱长为5的直四棱柱（如图2），求平面 $A B C D$ 与平面 $A E D_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28（吨/天）的确定为“超标”社区：

垃圾量 $X$	$[12.5, 15.5)$	$[15.5, 18.5)$	$[18.5, 21.5)$	$[21.5, 24.5)$	$[24.5, 27.5)$	$[27.5, 30.5)$	$[30.5, 33.5)$
频数	5	6	9	12	8	6	4

附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ , $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ．

(1)、在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值

\bar{x}

（精确到0.1）；

(2)、若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量

X

大致服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，其中

μ

，

σ^{2}

分别近似为（1）中样本的平均值

\bar{x}

，方差

s^{2}

，经计算

s

约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；

(3)、通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设

Y

为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求

Y

的分布列与数学期望．

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21. 已知点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 1)$ ，动点 $P$ 满足 $| \vec{P B} | | \vec{A B} | = \vec{P A} \cdot \vec{B A}$ ．记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $D$ 为直线 $y = - 2$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别是 $E$ ， $F$ ．证明：直线 $E F$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x}{2} - a x + \frac{4 a}{x} (a > 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $0 < a < \frac{1}{4}$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{a^{2}})$ 上的零点的个数．（附：对于任意 $x > 0$ ，都有 $f (x) + f (\frac{4}{x}) = 0$ ．）

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年广告支出 $x$	1	2	3	4	5
年利润 $y$	5	6	$a$	8	10