内蒙古呼和浩特市2021届高考理数第一次质量普查调研考试（一模）试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {x | 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${1, 3, 4}$ B、 ${1, 4}$ C、 ${3, 4}$ D、{4}

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2. 下面是关于复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ 的四个命题： $P_{1}$ ：z的实部为 $- 1$ ； $P_{2}$ ：z的虚部为1； $P_{3}$ ：z的共轭复数为 $1 + i$ ； $P_{4}$ ： $| z | = \sqrt{2}$ .其中真命题为（）

A、 $P_{1} \lor P_{3}$ B、 $\neg P_{2} \lor P_{3}$ C、 $P_{3} \land P_{4}$ D、 $P_{2} \land P_{4}$

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3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知角 $α$ 的终边在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上，则 $\cos (\frac{π}{2} + 2 α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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5. 2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时､措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领先于世界的5G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月，2代表2020年9月……，5代表2020年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.042 x + \hat{a}$ .若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)（）

A、2021年5月 B、2021年6月 C、2021年7月 D、2021年8月

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6. ${(1 - \sqrt{x})}^{6} {(1 + \sqrt{x})}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、-2 B、2 C、-10 D、10

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7. 古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用平行于母线PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛物线.若该圆锥的高 $P O = 1$ ，底面半径 $O A = \sqrt{3}$ ，则该抛物线焦点到准线的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 关于函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ ，下面4个判断错误的有（）
①函数 $f (x)$ 的图象是中心对称图形；②函数 $f (x)$ 的图象是轴对称图形；③函数 $f (x)$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 单调递增；④函数 $f (x)$ 在 $x \in (- 1 ， 0)$ 单调递减；

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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9. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后，得到的函数的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称，则函数 $g (x) = \cos (x + φ)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则该数列的前2021项的乘积是（）

A、-2 B、-1 C、2 D、1

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )交于A ， B两点，F是该双曲线的焦点，且满足 $| A B | = 2 | O F |$ ，若 $△ A B F$ 的面积为 $4 a^{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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12. 四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球O上且 $A B = A C = B C = B D = C D = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{6}$ ，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{70 π}{3}$ B、 $\frac{80 π}{3}$ C、30π D、40π

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线(图中楚河汉界处的“日”字没有画出)，如图，“马”从点A处走出一步，只能到达点B ， C ， D中的一处.则“马”从点A出发到达对方“帅”所在的P处，最少需要的步数是.

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15. 四边形 $A B C D$ 内接于圆O ， $A B = C D = 10$ ， $A D = 6$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，下面四个结论：

①四边形 $A B C D$ 为梯形

②圆O的直径为14

③ $△ A B D$ 的三边长度可以构成一个等差数列

④四边形 $A B C D$ 的面积为 $55 \sqrt{3}$

其中正确结论的序号有.

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16. 若 $a$ 克不饱和糖水中含有 $b$ 克糖，则糖的质量分数为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 $m$ 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ( $a > b > 0$ ， $m > 0$ )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 $\log_{3} 2$ $\log_{15} 10$ (用“ $<$ ”或“ $>$ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{11} = 165$ ， $a_{3} + a_{8} = 28$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${S_{n}}$ 满足 $\frac{1}{2} S_{1} + \frac{1}{2^{2}} S_{2} + \dots + \frac{1}{2^{n}} S_{n} = 3 n + 5$ ，求 $S_{n}$ .

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ，已知 $∠ B C C_{1} = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1$ ， $A B = C_{1} C = 2$ ，点E是棱 $C_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - B_{1} E - A_{1}$ 的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m x + \frac{m}{2}$ ( $e$ 为自然对数的底数)

(1)、当 $m = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点，求m的取值范围.

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20. 根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊､逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

(1)、根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数；

(2)、若以图2中年龄在 $71 ~ 80$ 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，现从该地区年龄在 $71 ~ 80$ 岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(- \sqrt{3}, 0)$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A_{1} (- a, 0)$ ， $A_{2} (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上一点，且不与顶点重合，若直线 $A_{1} B$ 与直线 $A_{2} M$ 交于点 $P$ ，直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} B$ 交于点 $Q$ .求证： $△ B P Q$ 为等腰三角形.

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22. 在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程 $ρ = 2 \sin 2 θ$ 对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.

(1)、当“四叶草”中的 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；

(2)、已知 $A$ 为“四叶草”上的点，求点 $A$ 到直线 $l ： ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 3$ 距离的最小值以及此时点 $A$ 的极坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{a}{2} | + | x + b + c |$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数).

(1)、当 $a = b = c = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $f (x)$ 的最小值为3时，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值.

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