内蒙古包头市2021届高三文数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x + 1) (x - 5) < 0, x \in Z}$ ， $B = {x | x (x - 2) \geq 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2, 3, 4}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. ${(1 + i)}^{3} =$ （）

A、 $- 2 - 2 i$ B、 $- 2 + 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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3. 为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹 $=$ 4丈，1丈 $=$ 10尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第 $n$ 天所织布的尺数为 $a_{n}$ ， $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，对于数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，则 $\frac{a_{5}}{\log_{2} b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{193}{209}$ B、 $\frac{209}{193}$ C、 $\frac{209}{289}$ D、 $\frac{289}{209}$

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5. 已知两非零向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6. 设数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} - 2 = 0$ ，则 $a_{5} + a_{6} + \cdot \cdot \cdot + a_{14} =$ （）

A、180 B、190 C、160 D、120

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7. 下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）

A、F B、E C、H D、G

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8. 若圆心在直线 $3 x - y = 0$ 上，与 $x$ 轴相切的圆，被直线 $x - y = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，则圆心到直线 $y = x$ 的距离为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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9. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 是 $C$ 左支上的动点， $A (0, 3)$ ，当点 $P$ 在线段 $A F_{1}$ 上时， $△ A P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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10. 设函数 $f (x) = \ln | 3 x + 1 | + \ln | 3 x - 1 |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 单调递减

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11. 已知 $9^{x} = 4^{y} = \sqrt{6}$ ，则 $\frac{{(x + y)}^{2}}{x^{2} y^{2}} =$ （）

A、25 B、16 C、9 D、4

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，若三棱锥 $C - E C_{1} D_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、22π B、26π C、24π D、28π

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二、填空题

13. 已知 $cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{4} - a_{3} = 10$ ， $a_{5} - a_{4} = 20$ ，则 $2 a_{n} - S_{n} =$ ．

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 1 ， \\ x - y \geq 1 ， \\ x - 5 y \leq 7 ， \end{array}$ 则 $z = y + 2 x$ 的最大值为．

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16. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．

$p_{2}$ ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．

$p_{3}$ ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．

$p_{4}$ ：若直线 $a //$ 平面 $α$ ，直线 $a ⊥$ 直线 $b$ ，则直线 $b ⊥$ 平面 $α$ ．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor p_{4}$

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin^{2} B - \sin^{2} A - \sin^{2} C = \sin A \sin C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 3$ ，当 $△ A B C$ 的周长最大时，求它的面积．

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18. 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	1	2	3	4	5
管理时间 $y$ （单位：月）	9	11	14	26	20

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	140	60
女性村民	40

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

参考数据： $\sqrt{485} \approx 22.02$ ．

(1)、求相关系数

r

的大小（精确到0.01），并判断管理时间

y

与土地使用面积

x

的线性相关程度；

(2)、是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）短轴的两个顶点与右焦点 $F_{2}$ 的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ ，与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $△ P Q F_{2}$ 的面积最大时，求直线 $P Q$ 的方程．

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20. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $G$ 为其两对角线的交点， $B C_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，顶点 $B_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影 $O$ 为底面中心．

(1)、求证： $D E //$ 平面 $A B C_{1}$ ，且 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - a x + a$ ，（ $a \neq 0$ ）．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sin α, \\ y = \cos 2 α, \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = - \frac{π}{6}$ ．

(1)、将 $C_{1}$ 的参数方程化为普通方程， $C_{2}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、求与直线 $C_{2}$ 平行且与曲线 $C_{1}$ 相切的直线 $l$ 的直角坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 3 | x + 1 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x) > f (x - 1)$ 的解集．

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