辽宁省铁岭市六校2020-2021学年高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 4 x - 12 < 0}$ ， $N = {x | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，且 $M$ 、 $N$ 都是全集 $R$ （ $R$ 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）．

A、 ${x | 3 < x \leq 6}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 6}$ C、 ${x | - 3 \leq x \leq - 2}$ D、 ${x | - 3 \leq x \leq 6}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{a - 2 i}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $| \sqrt{5} - a i | =$ （）．

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、3 D、2

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3. 已知 $m ， n$ 是两条不同直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ‖ α ， n ‖ α ，$ 则 $m ‖ n$ B、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，$ 则 $α ‖ β$ C、若 $m ‖ α ， m ‖ β ，$ 则 $α ‖ β$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α ，$ 则 $m ‖ n$

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4. 若 $a \in R$ ，“ $a > 3$ ”是“函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有极值”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ ，且球心 $O$ 在 $P C$ 上， $A C = B C = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $\tan ∠ P A B = \tan ∠ P B A = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则该鞠（球）的表面积为（）．

A、5π B、 $7 \sqrt{2} π$ C、9π D、14π

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6. 若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{2 x - x^{2}} - m x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $(- \infty ， - \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}] \cup (- \frac{4}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{4}{3}]$ D、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{4}{3})$

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7. 已知 $g (x) = f (x + \frac{1}{2}) - 1$ 是 $R$ 上的奇函数， $a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1)$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为（）．

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 $a_{n} = 3 n + 1$ C、 $a_{n} = 3 n + 3$ D、 $a_{n} = n^{2} - 2 n + 3$

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8. 如图在底圆半径和高均为 $2 \sqrt{2}$ 的圆锥中， $A B$ 、 $C D$ 是过底圆圆 $O$ 的两条互相垂直的直径， $E$ 是母线 $P B$ 的中点，已知过 $C D$ 与 $E$ 的平面与圆锥侧面的交线是以 $E$ 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 $P$ 的距离等于（）．

A、 $\sqrt{5}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)

的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．

$x$				$\frac{π}{3}$	$\frac{7 π}{12}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
$f (x)$	2	5

A、函数解析式为

f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{5 π}{6}) + 2

B、函数

f (x)

图象的一条对称轴为

x = - \frac{2 π}{3}

C、

(- \frac{5 π}{12} ， 0)

是函数

f (x)

图象的一个对称中心 D、函数

f (x)

的图象左平移

\frac{π}{12}

个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数

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10. 下列说法中错误的为（）．

A、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、向量 ${\vec{e}}_{1} = (2, - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°

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11. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）．

A、 $\log_{a} b > \log_{b} a$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} > 6$ C、 $a^{b} > b^{a}$ D、 $2^{a} - 2^{b} > 2^{- a} - 2^{- b}$

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $0 < a_{1} < \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (2 - a_{n})$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则下列说法正确的是（）．

A、 $\frac{1}{2} < a_{2} < 1$ B、 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、 $\frac{1}{2} < a_{3} < \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4} < a_{2020} < 1$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为4，则 $a =$ ．

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14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有种（用数字作答）．

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15. 已知双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{3} x$ ，则此双曲线方程为.

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16. 赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为元．（精确到0.01元，参考数据 $\frac{{(1 + 0.5 ％)}^{12}}{{(1 + 0.5 ％)}^{12} - 1} \approx 17.213$ ）

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四、解答题

17. 在① $\sin^{2} A - {(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin B \sin C$ ，② $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ，③ $a \sin B = b \sin (\frac{2 π}{3} - A)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
$△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ，_________，求A和C．

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18. 如图所示的多面体中， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B D = 6$ ， $B C = 3 \sqrt{5}$ ， $A E = 3$ ， $A M = 4$ ．

(1)、求直线 $C E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值；

(2)、求证： $C M ⊥$ 平面 $A B D E$ ；

(3)、求二面角 $M - E C - B$ 的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ ．数列 ${b_{n}}$ 是公差大于0的等差数列， $b_{2} = a_{3}$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数例．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ ，求 $T_{n}$ ．

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20. 某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在

450 \sim 950

分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，期中 $n = a + b + c + d$ ）

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求

a

的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现采用分层抽样的方式从分数落在

[550 ， 650)

，

[750 ， 850)

内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量

X

，求

X

的分布列及数学期望；

(3)、若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有97.5%％的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？

	属于“高分选手”	不属于“高分选手”	合计
男生
女生
合计

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21. 已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l ： x = 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，过右焦点 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若过点 $F$ 的直线 $M F$ 与 $A B$ 垂直，且与直线 $l$ 交于点 $M$ ，线段 $A B$ 中点为 $D$ ，求证： $k_{O D} = k_{O M}$ ．

(2)、设 $Q$ 点的坐标为 $(\frac{5}{2} ， 0)$ ，直线 $B Q$ 与直线 $l$ 交于点 $E$ ，试问 $E A$ 是否垂直 $E P$ ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x^{2} + 2 a x$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) \geq (2 a + 1) x - x \ln (x + 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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