江西省八所重点中学2021届高三理数4月联考试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + \sqrt{3} i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的实部为 $\frac{1}{2}$ B、复数 $z$ 的虚部为 $- \frac{\sqrt{3}}{4} i$ C、复数 $z$ 的共轭复数为 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$ D、复数 $z$ 的模为 $\frac{1}{4}$

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2. 设集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = \frac{2021}{2020}}$ ， $B = {(x ， y) | y = 2^{| x |}}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 若 $a = 2021^{0.21}$ ， $b = \sin \frac{2021}{5} π$ ， $c = \log_{2021} 0.21$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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4. 在区间 $[0 ， 1]$ 上随机取两个数 $x$ ､ $y$ ，则事件“ $y \geq x^{2020}$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $\frac{1}{2021}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2020}{2021}$

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5. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = a_{n}^{2} + \frac{1}{2} a_{n} - 14$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{n^{2}}{4} + \frac{15 n}{4}$ B、 $\frac{n^{2}}{3} + \frac{15 n}{3}$ C、 $\frac{3}{2} n^{2} + \frac{5}{2} n$ D、 $n^{2} + 3 n$

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6. 定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (6 - x) = f (x)$ ， $(x - 3) f' (x) > 0 (x \neq 3)$ ，若 $f (0) \cdot f (1) < 0$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $(5, 6)$ 内（）

A、没有零点 B、有且仅有1个零点 C、至少有2个零点 D、可能有无数个零点

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7. 在 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含 $x^{6}$ 的项系数为（）

A、45 B、-45 C、120 D、-120

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8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16 - a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点，点 $M$ 是 $C$ 右支上的一点.直线 $M F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $△ M P F_{2}$ 的内切圆在边 $P F_{2}$ 上的切点为 $Q$ ，若 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､B､ $C$ 所对的边分别为 $a$ ､b､ $c$ ，若角 $A$ ､C､ $B$ 成等差数列，角 $C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = \sqrt{3}$ ， $a = 3 b$ ，则 $c$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0, 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作：再将剩下的两个区间 $[0, \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3}, 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于 $\frac{1818}{2021}$ ，则操作的次数 $n$ 的最大值为（）(参考数据： ${(\frac{2}{3})}^{4} \approx 0.1975$ ， ${(\frac{2}{3})}^{5} \approx 0.1317$ ， ${(\frac{2}{3})}^{6} \approx 0.0878$ ， ${(\frac{2}{3})}^{7} \approx 0.0585$ )

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $64 π$ ， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P A = 8$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、8 B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、16

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12. 已知函数 $g (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} (x \neq 0)$ ，则关于 $x$ 的方程 $\sqrt{g (x)} + \frac{2}{\sqrt{g (x)}} - 2 k = 0 (k \in R)$ 不可能有（）个相异实根.

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有个．（用数字作答）

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14. 点 $P$ 是曲线 $y = x^{2} + x - \ln x$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $2 x - y - 2 = 0$ 的最短距离为.

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15. 给出下列命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角”的充分不必要条件；

③斜二测画法中边长为2的正方形的直观图的面积为 $\sqrt{2}$ ；

④函数 $f (x) = \frac{4}{\sin^{2} x} + \sin^{2} x$ 的最小值为4；

⑤已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan β = 3$ .

其中正确的有(填上你认为正确命题的序号)

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16. 平面向量 $\vec{O A}$ ､ $\vec{O B}$ ､ $\vec{O C}$ ，满足 $| \vec{O A} | = 2 | \vec{O B} | = 4$ ， $(2 \vec{O C} - \vec{O A}) \cdot (\vec{O C} - \vec{O B}) = 0$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则对任意 $θ \in [0 ， 2 π]$ ， $| \vec{O C} - \frac{1}{4} \cos θ \vec{O A} - \frac{1}{2} \sin θ \cdot \vec{O B} |$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = m \sin (ω x + \frac{π}{6}) (m > 0 ， ω > 0)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 $f (x)$ 的最大值为2；②函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图像平移得到；③函数 $f (x)$ 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 $π$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、请写出这两个条件的序号，并求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对的边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ . $A = \frac{π}{3}$ ， $a = f (A)$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P C = 2$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2}$ ， $C E = 2 E B = 2$ .

(1)、证明：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求锐二面角 $A - P D - C$ 的余弦值.

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19. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .左焦点 $F (- 1, 0)$ ，点 $M (0, 2)$ 在椭圆 $E$ 外部，点 $N$ 为椭圆 $E$ 上一动点，且 $△ N M F$ 的周长最大值为 $2 \sqrt{5} + 4$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $B$ ､ $C$ 为椭圆 $E$ 上关于原点对称的两个点， $A$ 为左顶点，若直线 $A B$ ､ $A C$ 分别与 $y$ 轴交于 $P$ ､ $Q$ 两点，试判断以 $P Q$ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

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20. 4月30日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)、求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)、用 $ξ$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x + a \ln x$ ， $g (x) = e^{- x} - \ln x - 2 x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x_{0}) = 0$ ，求 $x_{0} + \ln x_{0}$ 的值；

(3)、证明： $x - x \ln x \leq e^{- x} + x^{2}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{3}) = 1$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，设 $P (2, 0)$ ，求 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| P N |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x + 4 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 8$ 的解集；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正实数，函数 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，且满足 $2 a + 2 b + c = t$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值.

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