江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期数学3月教学情况调研试卷（一）

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = [2, 4], B = {x ∣ \log_{2} x > 1}$ 则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、∞ B、{2} C、 ${x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 2}$ D、 ${x ∣ x ⩽ 2}$

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2. “ $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“ $\sin α = \cos α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” $\dots \dots$ ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” $\dots \dots$ ，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（）

A、辛酉年 B、辛戊年 C、壬酉年 D、壬戊年

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4. $(3 - 2 x) {(x + 1)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、-15 B、-10 C、10 D、15

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5. 函数 $f (x) = \sin x \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一点P作圆 $C ： x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 1$ 的切线，切点为 $A ， B$ ，则当四边形 $P A C B$ 的面积最小时，P点的坐标是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， \sqrt{3})$ C、 $(2 ， 2)$ D、 $(\frac{5}{2} ， \sqrt{5})$

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7. 若随机变量 $X ~ B (3, p)$ ， $Y ~ N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1) = 0.657, P (0 < Y < 2) = p$ ，则 $P (Y > 4) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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8. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - \frac{16}{x} ， x \neq 0 \\ 0 ， x = 0 \end{array}$ 则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] \cup [0 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3] \cup [- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 轴对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 中心对称 D、函数 $y = x^{2} + f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上为增函数

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10. 已知O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（）

A、若 $| P O | = | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率 $e \geq 2$ B、若 $△ P O F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则 $b^{2} = 2 \sqrt{3}$ C、若 $A_{2}$ 为双曲线的右顶点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则 $| F_{2} A_{2} | = | F_{2} P |$ D、若射线 $F_{2} P$ 与双曲线的一条渐近线交于点Q，则 $| | Q F_{1} | - | Q F_{2} | | > 2 a$

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11. 1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）

A、 $A F / / C D$ B、 $A F ⊥ D E$ C、新几何体有7个面 D、新几何体的六个顶点不能在同一个球面上

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12. 已知正数 $x, y, z$ ，满足 $3^{x} = 4^{y} = 12^{z}$ ，则（）

A、 $6 z < 3 x < 4 y$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{z}$ C、 $x + y > 4 z$ D、 $x y < 4 z^{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (0, - 2), \vec{c} = (- 1, λ)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 已知复数 $z$ 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数 $z$ 的陈述如下（ $i$ 为虚数单位）：甲： $z + \bar{z} = 2$ ；乙： $z - \bar{z} = 2 \sqrt{3} i$ ；丙： $z \cdot \bar{z} = 4$ ；丁： $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{2}$ .在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 $z =$ .

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15. 若 $2 \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x = 1$ ，则 $\sin (\frac{5 π}{6} - x) \cdot \cos (2 x + \frac{π}{3}) =$ .

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16. 四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积；这样的不同四面体的个数为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，点D在边 $B C$ 上，满足 $A B = \sqrt{3} B D$ .

(1)、若 $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ，求 $∠ C$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D, A D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为整数，公比为q，且 $| q | > 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 中有连续四项在集合 $M = {- 96, - 24, 36, 48, 192}$ 中，

(1)、求q，并写出数列 ${a_{n}}$ 的一个通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明：数列 ${S_{n}}$ 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.

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19. 如图四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以AD为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $P C = \sqrt{2}$ ，E为PD的中点.

(1)、求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；

(2)、设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.

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20. 某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，

(1)、求这两种方案检测次数相同的概率；

(2)、如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.

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21. 已知O为坐标系原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点为点F，右准线为直线n.

(1)、过点 $(4, 0)$ 的直线交椭圆C于 $D, E$ 两个不同点，且以线段 $D E$ 为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；

(2)、已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证： $\frac{| F M |}{| F N |}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 + m \ln x_{-} (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，一次函数 $g (x)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \leq g (x) \leq x^{2}$ 恒成立，求 $g (x)$ 的表达式；

(2)、讨论关于x的方程 $\frac{f (x)}{f (\frac{1}{x})} = x^{2}$ 解的个数.

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