江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期数学3月第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称， $z_{1} ＝ 3 + 4 i,$ 则 $z_{1} z_{2} ＝$ （）

A、25 B、-25 C、 $7 - 24 i$ D、 $- 7 - 24 i$

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2. 设集合 $A$ 、 $B$ 是全集 $U$ 的两个子集，则“ $A \subseteq B$ ”是“ $A \cap ∁_{U} B = \emptyset$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是相互垂直的单位向量，与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面的向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} ＝ \vec{b} \cdot \vec{c} ＝ 2,$ 则 $\vec{c}$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 $R_{0}$ ，1个感染者在每个传染期会接触到 $N$ 个新人，这 $N$ 人中有 $V$ 个人接种过疫苗( $\frac{V}{N}$ 称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为 $\frac{R_{0}}{N} (N - V)$ ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 $R_{0} ＝ 2.5,$ 为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）

A、40% B、50% C、60% D、70%

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5. 计算 $\frac{2 \cos 10 ° - \sin 20 °}{\cos 20 °}$ 所得的结果为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做 $1$ 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“ $0 - 07$ ”，478密位写成“ $4 - 78$ ”，1周角等于6000密位，记作1周角 $= 60 - 00$ ， $1$ 直角 $= 15 - 00$ ．如果一个半径为2的扇形，它的面积为 $\frac{7}{6} π$ ，则其圆心角用密位制表示为（）

A、12-50 B、17-50 C、21-00 D、35-00

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A ， B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限，且 $\cos θ = \frac{1}{4} ，$ 若 $| A B | ＝ | A F_{1} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x) ，$ 且当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) \cdot \ln x + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，则不等式 $(x^{2} - 1) f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(－ 1 ， 1)$ B、 $(－ \infty ，－ 1) \cup (0 ， 1)$ C、 $(－ \infty ，－ 1) \cup (1 ，＋ \infty)$ D、 $(－ 1 ， 0) \cup (1 ，＋ \infty)$

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二、多选题

9. 对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项中正确的为（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α, n / / β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m / / n$ C、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ 或 $n \subset α$

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10. 已知 $a > b > 0$ ，下列选项中正确的为（）

A、若 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 1$ ，则 $a － b < 1$ B、若 $a^{2} － b^{2} ＝ 1$ ，则 $a － b < 1$ C、若 $2^{a} - 2^{b} =1$ ，则 $a － b < 1$ D、若 $\log_{2} a - \log_{2} b = 1$ ，则 $a － b < 1$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| \sin x |} + \sqrt{| \cos x |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象必有对称轴 C、 $f (x)$ 的增区间为 $[k π ， k π + \frac{π}{2}] ， k \in Z$ D、 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt[4]{8}]$

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12. 已知 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2, p + q ＝ 1,$ 设 $f (k) = C_{2 n}^{k} p^{k} q^{2 n - k}$ ，其中 $k \in N, k \leq 2 n,$ 则（）

A、 $\sum_{k = 0}^{2 n} f (k) = 1$ B、 $\sum_{k = 0}^{2 n} k f (k) = 2 n p q$ C、若 $n p ＝ 4$ ，则 $f (k) \leq f (8)$ D、 $\sum_{k = 0}^{n} f (2 k) < \frac{1}{2} < \sum_{k = 1}^{n} f (2 k - 1)$

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三、填空题

13. 某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有种．(用数字填写答案)

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点为 $A,$ 右焦点为 $F,$ 以 $A$ 为圆心， $R$ 为半径的圆与椭圆相交于 $B, C$ 两点，若直线 $B C$ 过点 $F,$ 则 $R$ 的值为．

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15. 在四棱锥 $P － A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D ，$ 四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，且 $P A ＝ 2$ ．若点 $E 、 F$ 分别为 $A B ， A D$ 的中点，则直线 $E F$ 被四棱锥 $P － A B C D$ 的外接球所截得的线段长为．

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16. 牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $y ＝ f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y ＝ f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 作曲线 $y ＝ f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值．一般的，过点 $(x_{n}, f (x_{n})) (n \in N)$ 作曲线 $y ＝ f (x)$ 的切线 $l_{n +}_{1}$ ，记 $l_{n +}_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n +}_{1}$ ，并称 $x_{n +}_{1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值．设 $f (x) = x^{3} + x - 1$ $(x \geq 0)$ 的零点为 $r$ ，取 $x_{0} ＝ 0$ ，则 $r$ 的 $2$ 次近似值为；设 $a_{n} = \frac{3 x_{n}^{3} + x_{n}}{2 x_{n}^{3} + 1}$ ， $n \in N^{*},$ 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．若任意 $n \in N^{*}, T_{n} < λ$ 恒成立，则整数 $λ$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在① $b ＝ \sqrt{3} a$ ；② $a = 3 \cos B$ ；③ $a \sin C = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin B - \sin (A - C) = \sqrt{3} \sin C$ ， $c = 3$ ▲ ？

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + r,$ 其中 $r$ 为常数．

(1)、求 $r$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = 2 (1 + \log_{2} a_{n})$ ，若数列 ${b_{n}}$ 中去掉数列 ${a_{n}}$ 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ${c_{n}}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{100}$ 的值．

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19. 某公司对项目进

A

行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：

项目 $A$ 投资金额 $x$ （单位：百万元）	1	2	3	4	5
所获利润 $y$ （单位：百万元）	0.3	0.3	0.5	0.9	1

附：①对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 、 $\dots \dots$ 、 $(x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

②线性相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$ ．一般地，相关系数 $r$ 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．

参考数据：对项目 $A$ 投资的统计数据表中 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 11$ ， $\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = 2.24$ ， $\sqrt{4.4} \approx 2.1$ ．

(1)、请用线性回归模型拟合

y

与

x

的关系，并用相关系数加以说明；

(2)、该公司计划用

7

百万元对

A

、

B

两个项目进行投资．若公司对项目

B

投资

x (1 \leq x \leq 6)

百万元所获得的利润

y

近似满足：

y = 0.16 x - \frac{0.49}{x + 1} + 0.49

，求

A

、

B

两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2 ， B_{1} C ＝ \sqrt{6} ， A B ⊥ B_{1} C .$

(1)、求证：平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上且直线 $C P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求 $B P$ 的长

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21. 已知直线 $l : y ＝ x + m$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、设直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $T$ ．若 $\vec{A T} =2 \vec{T B}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若点 $M, N$ 在抛物线 $C$ 上，且关于直线 $l$ 对称，求证： $A, B, M, N$ 四点共圆．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x \sin x - x - 1 ， x \in [0 ， π]$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a ＝ \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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