吉林省吉林市普通中学2020-2021学年高三理数第三次调研测试试卷

试卷更新日期：2021-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x \leq 1}, B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B$ 的子集的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 2) = f (x)$ ，则 $f (8)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、0 D、-1

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3. 已知直线 $l$ 经过点 $(1, - 1)$ ，且与直线 $2 x - y - 5 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y - 3 = 0$ C、 $x + 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）

A、4.5尺 B、3.5尺 C、2.5尺 D、1.5尺

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5. 若圆 $C$ 的半径为 $1$ ，圆心在第一象限，且与直线 $4 x - 3 y = 0$ 和 $x$ 轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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6. $(1 + \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-6 B、-5 C、9 D、15

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7. 已知圆锥 $S O$ 的底面半径为 $r$ ，当圆锥的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{6} π r^{3}$ 时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $y = \sin a x + b (a > 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \log_{a} (x + b)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $m$ 是1和9的等比中项，则圆锥曲线 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图， $Δ A B C$ 和 $Δ D E F$ 都是圆内接正三角形，且 $B C / / E F$ ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 $A$ 表示事件“豆子落在 $Δ A B C$ 内”， $B$ 表示事件“豆子落在 $Δ D E F$ 内”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2 π}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知 $A$ 、 $B$ 为平面上的两个定点，且 $| \overset{⇀}{A B} | = 2$ ，该平面上的动线段 $P Q$ 的端点 $P$ 、 $Q$ ，满足 $| \overset{⇀}{A P} | \leq 5$ ， $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{A B} = 6$ ， $\overset{⇀}{A Q} = 2 \overset{⇀}{P A}$ ，则动线段 $P Q$ 所形成图形的面积为（）

A、36 B、60 C、72 D、108

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12. 对于 $\forall x > 0 ， a e^{x} - \ln x + \ln a \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2 e} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2 e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{1 - i}{| i |}$ ，则 $z$ 的虚部为．

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14. 设 $a = e^{1.5}, b = \log_{3} e, c = \log_{\frac{1}{3}} 5$ ，则 $a, b, c$ 按从小到大的顺序为．

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15. 辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷赘”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚，林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰，朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有种.

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16. 已知圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16 ， P$ 是圆 $C$ 上任意点，若 $A (1 ， 0)$ ，线段 $A P$ 的垂直平分线与直线 $C P$ 相交于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹方程是﹔若A是圆 $C$ 所在平面内的一定点，线段 $A P$ 的垂直平分线与直线 $C P$ 相交于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹是：①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若向量 $\vec{m} = (1, \sqrt{2} a)$ ， $\vec{n} = (- a, \cos B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$

(1)、求角 $B$

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}, a = 2 \sqrt{3}$ ，求角 $A$

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18. 2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积

x

与相应的管理时间

y

的关系如下表所示：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	1	2	3	4	5
管理时间 $y$ （单位：月）	8	11	14	24	23

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示；

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	140	60
女性村民	40

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

参考数据： $\bar{y} = 16 ， {\sum (y - \bar{y})}^{2} = 206 ， \sqrt{515} \approx 22.7$

(1)、做出散点图，判断土地使用面积

x

与管理时间

y

是否线性相关；并根据相关系数

r

说明相关关系的强弱．(若

| r | \geq 0.75

，认为两个变量有很强的线性相关性，

r

值精确到0.001) .

(2)、若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} ， ∠ B A C = 90^{°} ， A B = 4 ， A C = 2 ， M$ 是 $A B$ 中点， $N$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点， $P$ 是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，点 $Q$ 在线段 $C_{1} N$ 上.

(1)、求证： $P Q ∥$ 平面 $A_{1} C M$

(2)、若二面角 $A_{1} - C M - A$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点 $B$ 到平面 $A_{1} C M$ 的距离

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $(x_{0} ， 1)$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点.过原点 $O$ 垂直于 $l$ 的直线与抛物线 $C$ 的准线相交于 $Q$ 点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及 $F$ 的坐标

(2)、设 $△ O A B ， △ Q A B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} - \frac{1}{S_{2}}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + \sin x$ ， $g (x) = e^{x} (- \sin x + \cos x + a)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $\exists x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得不等式 $g (x_{1}) \geq f (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、不等式 $\frac{f^{'} (x) - m}{x} > \ln x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $m$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(0, 1)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | + | 1 - x | ， x \in R$

(1)、解不等式： $f (x) \leq 5$

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，若正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = M$ ，试求： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值

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