黑龙江省大庆市2021届高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）

试卷更新日期：2021-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 1 < x < 1}$ ， $N = {x | x^{2} - 2 x > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | x < 1$ 或 $x > 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{z}{3 - i} = i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $- 1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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3. 在二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x$ 的项的系数是（）

A、-10 B、-5 C、10 D、20

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4. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1}$ ，空气的温度是 $θ_{0}$ ， $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- 0.24 t}$ 求得. 把温度是 $100^{°} C$ 的物体，放在 $- 10^{°} C$ 的空气中冷却 $t$ 分钟后，物体的温度是 $45^{°} C$ ，则 $t$ 约为（）（ $\ln 2 \approx 0.693$ ）

A、1.69 B、2.89 C、4.58 D、6.61

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin (A + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

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7. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $f (\frac{3}{2})$ ， $f (\log_{2} 3)$ ， $f (\log_{\frac{1}{2}} 3.1)$ 的大小关系为（）

A、 $f (\log_{\frac{1}{2}} 3.1) < f (\log_{2} 3) < f (\frac{3}{2})$ B、 $f (\log_{2} 3) < f (\log_{\frac{1}{2}} 3.1) < f (\frac{3}{2})$ C、 $f (\frac{3}{2}) < f (\log_{\frac{1}{2}} 3.1) < f (\log_{2} 3)$ D、 $f (\frac{3}{2}) < f (\log_{2} 3) < f (\log_{\frac{1}{2}} 3.1)$

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8. 常用的A4打印纸的长宽比例是 $\sqrt{2} : 1$ ，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A、285米 B、268米 C、2558米 D、248米

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9. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $A D$ 的中点 $O$ .若 $A B = 2$ ， $A D = 6$ ， $P O = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积等于（）

A、 $34 + 6 \sqrt{5}$ B、 $34 + 4 \sqrt{3}$ C、 $6 + 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{3}$ D、 $6 + 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{13}$

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10. 由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线 ${\begin{array}{l} y^{2} = 4 x \\ y = - \frac{4}{3} (x - 1) \end{array}$ ，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 $x$ 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 $A (\frac{1}{4} ， 1)$ ，平行于对称轴的光线经过点 $A$ 反射后，反射光线交抛物线于点 $B$ ，则线段 $A B$ 的中点到准线的距离为（）

A、2 B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{25}{4}$

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11. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (π - ω x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 6]$ B、 $(2, 6)$ C、 $[2, \frac{10}{3}]$ D、 $(2, \frac{10}{3})$

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12. 已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}$ ，则函数 $y = 3 {[f (x)]}^{2} + 2 f (x) - 1$ 零点的个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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二、填空题

13. 为了研究某班学生的脚长 $x$ (单位：厘米)和身高 $y$ (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = 4 x + \hat{a}$ ．已知这组数据的样本中心点为（22.5，160），若该班某学生的脚长为25厘米，据此估计其身高为厘米．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0, b > 0)$ 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 $\frac{b}{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 用总长 $11$ m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为m³（不计损耗）．

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16. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E ， F ， G$ 分别是 $C_{1} D_{1} ， A A_{1} ， B C$ 的中点， $B D_{1}$ 与平面 $E F G$ （填“平行”或“不平行”）；在正方体的12条面对角线中，与平面 $E F G$ 平行的面对角线有条．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
① $a_{2} + a_{3} = 11$ ；② $S_{6} - 2 a_{6} = 19$ ；③ $S_{6} - S_{3} = 39$ ；

注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分.

(2)、在（1）的条件下，令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．

(1)、第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

(2)、现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生 $X$ 人，求随机变量 $X$ 的分布列；

(3)、食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为： $24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2$

后10天剩菜剩饭的重量为： $23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3$

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M ， N$ 分别为 $P C ， C D$ 的中点， $P D = A D = 2$ ， $A B = 4$ ．

(1)、求证： $B N ⊥ A M$ ；

(2)、求平面 $A M N$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0)$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，椭圆左顶点到左焦点的距离为 $1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，已知点 $P (\frac{2}{3} ， 0)$ ，点 $A$ 是椭圆的右顶点，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E ， F$ ， $E ， F$ 两点都在 $x$ 轴上方，且 $∠ A P E = ∠ O P F$ ．证明直线 $l$ 过定点，并求出该定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 3}$ ．

(1)、求证： $f (x) \geq x - 2$ ；

(2)、若 $a > 1$ ， $x > \ln a$ 时， $\ln (\frac{x - \ln a}{a}) < f (x) - 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1} : θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ 与直线 $l_{2} : \sqrt{3} ρ \cos θ + ρ \sin θ - 4 = 0$ 交于点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的直角坐标；

(2)、若直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ ： ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x)$ = $| x + \frac{1}{a} | + | x - a | (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、证明： $f (x)$ $\geq$ 2．

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