东北三省四市教研联合体2021届高三理数第二次联合考试试卷

试卷更新日期：2021-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 定义集合运算： $A * B = {z | z = x y, x \in A, y \in B}$ ，设 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则集合 $A * B$ 的所有元素之和为（）

A、16 B、18 C、14 D、8

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2. 复数 $z = \frac{5}{2 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、6

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3. 割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形 $A B C$ 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $a = 2^{\frac{1}{5}}$ ， $b = \log_{5} 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）
①空间三条互相平行的直线 $a$ ， $b$ ， $c$ ，都与直线 $d$ 相交，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三条直线共面；②若直线 $m ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $n //$ 平面 $α$ ，则 $m ⊥ n$ ；③平面 $α \cap$ 平面 $β =$ 直线 $m$ ，直线 $a //$ 平面 $α$ ，直线 $a //$ 平面 $β$ ，则 $a // m$ ；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $x \pm 2 y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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7. 如图所示，流程图所给的程序运行结果为 $S = 840$ ，那么判断框中所填入的关于 $k$ 的条件是（）

A、 $k < 5 ?$ B、 $k < 4 ?$ C、 $k < 3 ?$ D、 $k < 2 ?$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 1 - e^{x - 2}$ B、 $f (x) = e^{x - 2} - 1$ C、 $f (x) = 1 - e^{x - 1}$ D、 $f (x) = e^{x - 1} - 1$

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9. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 3)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个长度单位后关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称，则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, π]$ 上的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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10. 已知直线 $x + y = a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $| \vec{O A} + \vec{O B} | = \sqrt{3} | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{6}$

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11. 已知 $A$ 、 $B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $A B = 2$ ，过 $A B$ 作互相垂直的两个平面截球得到圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ ，若 $∠ A O_{1} B = 90 °$ ， $∠ A O_{2} B = 60 °$ ，则球的表面积为（）

A、5π B、10π C、15π D、20π

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - 3}$ ， $g (x) = \frac{1}{2} + \ln \frac{x}{2}$ ，若 $f (m) = g (n)$ 成立，则 $n - m$ 的最小值为（）

A、 $1 + \ln 2$ B、 $\ln 2$ C、 $2 \ln 2$ D、 $\ln 2 - 1$

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二、填空题

13. $\sin 20^{°} \cos 10^{°} - \cos 160^{°} \sin 10^{°} =$ ．

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14. 在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是.

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ， $b - c = 2$ ， $\cos A = \frac{1}{4}$ ，则 $a$ 的值为.

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16. 在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 $C_{1} ： \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ ； $C_{2} ： x^{4} + y^{4} = 1$ ，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：
甲：曲线 $C_{1}$ 关于 $y = x$ 对称；

乙：曲线 $C_{2}$ 关于原点对称；

丙：曲线 $C_{1}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{1} < \frac{1}{2}$ ；

丁：曲线 $C_{2}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{2} < \frac{π}{4}$ ；

四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）.

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三、解答题

17. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前6项和为126，且 $4 a_{2}$ ， $3 a_{3}$ ， $2 a_{4}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = b_{n - 1} + \log_{2} a_{n} (n \geq 2 且 n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 1$ ，证明：数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < 2$ .

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18. 新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：

100位男性居民评分频数分布表

分组	频数
$[50, 60)$	3
$[60, 70)$	12
$[70, 80)$	72
$[80, 90)$	8
$[90, 100]$	5
合计	100

100位女性居民评分频数分布表

分组	频数
$[50, 60)$	5
$[60, 70)$	15
$[70, 80)$	64
$[80, 90)$	7
$[90, 100]$	9
合计	100

（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值 $\bar{x}$ 和方差 $S^{2}$ ；

（Ⅱ）已知男性居民评分 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $μ$ 用 $\bar{x}$ 表示， $σ^{2}$ 用 $S^{2}$ 表示，求 $P (67.8 < X < 89.4)$ ；

（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?

附： $\sqrt{52} \approx 7.2$ ， $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

参考公式 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$p (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828

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19. 已知等腰直角 $△ S A B$ ， $S A = A B = 4$ ，点 $C$ ， $D$ 分别为边 $S B$ ， $S A$ 的中点，沿 $C D$ 将 $△ S C D$ 折起，得到四棱锥 $S - A B C D$ ，平面 $S C D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

（Ⅰ）过点 $D$ 的平面 $α //$ 平面 $S B C$ ，平面 $α$ 与棱锥 $S - A B C D$ 的面相交，在图中画出交线；设平面 $α$ 与棱 $S A$ 交于点 $M$ ，写出 $\frac{S M}{M A}$ 的值（不必说出画法和求值理由）；

（Ⅱ）求证：平面 $S B A ⊥$ 平面 $S B C$ .

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20. 已知点 $M (1, \frac{3}{2})$ ， $N (- 1, - \frac{3}{2})$ ，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率乘积为 $- \frac{3}{4}$ ， $P$ 点的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设斜率为 $k$ 的直线交 $x$ 轴于 $T$ ，交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，是否存在 $k$ 使得 $| A T |^{2} + | B T |^{2}$ 为定值，若存在，求出的 $k$ 值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - \frac{a x^{2}}{2} (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有且仅有一个极小值点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t \\ y = - \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以该直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ - 2 \sin θ$ ．
（Ⅰ）分别求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 交曲线 $C_{1}$ 于 $O$ ， $A$ 两点，交曲线 $C_{2}$ 于 $O$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的长．

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23. 已知 $f (x) = | x + 2 | - | x - 1 |$
（Ⅰ）解不等式 $f (x) \leq x$ ；

（Ⅱ）设 $f (x)$ 的最大值为 $t$ ，如果正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + 2 n = t$ ，求 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

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