东北三省四城市联考暨沈阳市数学2021届高三质量监测试卷（二）

试卷更新日期：2021-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 - 2 i) \cdot i$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2. C、 $\sqrt{3}$ D、1

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2. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 4}$ ， $B = {x | x = 2^{n}, n \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 4}$ C、 ${0, 2, 4}$ D、 ${1, 2, 4}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 9$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项和是（）

A、15 B、20 C、25 D、35

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4. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线 $C$ ： $y^{2} = x$ ，一束平行于抛物线对称轴的光线经过 $A (5, 2)$ ，被抛物线反射后，又射到抛物线 $C$ 上的 $Q$ 点，则 $Q$ 点的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{4}, - \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{8}, - \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{16}, - \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{64}, - \frac{1}{8})$

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5. 若 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\sin (α + \frac{5 π}{2}) - 1}{\sin (3 π - α)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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6. 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．

A、5040 B、1260 C、210 D、630

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左，右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且满足 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O P |$ ， $\tan ∠ P F_{2} F_{1} \geq 5$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{17}}{3}]$ B、 $(1, \frac{\sqrt{26}}{4}]$ C、 $(1, \sqrt{5}]$ D、 $(1, \sqrt{2}]$

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二、多选题

9. 以下关于概率与统计的说法中，正确的为（）

A、某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 $6 : 5 : 4$ ，则应从高二年级中抽取20名学生 B、10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 $\frac{7}{15}$ C、若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ， $P (ξ < 4) = 0.79$ ，则 $P (ξ \leq - 2) = 0.42$ D、设某学校女生体重 $y$ (单位： $kg$ )与身高 $x$ (单位： $cm$ )具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.71$ ，若该学校某女生身高为 $170 cm$ ，则可断定其体重必为 $58.79 kg$

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10. 以下有关三角函数 $f (x) = \sin x \cdot \cos 2 x$ 的说法正确的为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (- x) - f (x) = 0$ B、 $\exists T \neq 0$ ，使得 $f (x + T) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在定义域内有偶数个零点 D、 $\forall x \in R$ ， $f (π - x) - f (x) = 0$

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11. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，点 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A A_{1}$ 与直线 $B E$ 所成角的范围是 $[0 ， \frac{π}{4}]$ B、在棱 $B_{1} C_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B E$ C、若 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则平面 $A B E$ 截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面面积为 $\frac{3 \sqrt{19}}{16}$ D、若 $F$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $F - A B E$ 体积的最大值为 $\frac{1}{6}$

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12. 若实数 $t \geq 2$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $(t + 3) \ln (t + 2) > (t + 2) \ln (t + 3)$ B、 ${(t + 1)}^{t + 2} > {(t + 2)}^{t + 1}$ C、 $1 + \frac{1}{t} > \log_{t} (t + 1)$ D、 $\log_{(t + 1)} (t + 2) > \log_{(t + 2)} (t + 3)$

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三、填空题

13. 若 ${(x + 1)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为15，则 $n =$ .

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14. 若“ $\exists x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $2 x^{2} - λ x - 1 < 0$ 成立”是假命题，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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15. 过圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外一点 $(2, 0)$ 引直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ A O B$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率等于 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $r$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 e^{- x}$ ， $g (x) = x - a$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - 1 \geq | g (x) + 1 |$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的大小.(在① $2 \cos^{2} B + \cos 2 B = 0$ ，② $b \cos A + a \cos B = \sqrt{3} + 1$ ，这两个条件中任选一个，补充在横线上)

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} = S_{n} + n (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、记 $c_{n} = \frac{1}{\log_{2} (a_{n} + 1) \cdot \log_{2} (a_{n + 2} + 1)}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 和侧面 $P A B$ 都是边长为4的等边三角形，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $E$ 为线段 $P A$ 中点，点 $F$ 为 $A B$ 上的动点.

(1)、若平面 $C E F ⊥$ 平面 $A B C$ ，求线段 $A F$ 的长；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

该农作物亩产量( $k g$ )	900	1200
概率	0.5	0.5
该农作物市场价格(元/ $k g$ )	30	40
概率	0.4	0.6

(1)、设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为

X

元，求

X

的分布列；

(2)、若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.

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21. 已知点 $F (\sqrt{2} ， 0)$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $A$ ， $B$ 分别为椭圆的左､右顶点，椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的任意一点 $P$ 与 $A$ ， $B$ 两点连线的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的两条弦 $P Q$ ， $M N$ 相互垂直，若 $\vec{P Q} = 2 \vec{P S}$ ， $\vec{M N} = 2 \vec{M T}$ ，求证：直线 $S T$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + a$ ， $a < 0$ .

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、当 $a \in (- 2 e^{2} ， 0)$ 时，试判断函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + a x$ 是否有最小值？若有，设最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；若没有，请说明理由.

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