浙江省普通高中2021年数学1月学业水平考试试卷

试卷更新日期：2021-04-23 类型：水平会考

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {4 ， 5 ， 6} ， B = {3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{5} C、 ${4 ， 6}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ D、 $B = (- \infty ， 2]$

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3. $\log_{3} 18 - \log_{3} 2 =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 以 A（2，0）、B（0，4）为直径端点的圆方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 20$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、2 B、4 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 不等式 $2^{| x - 1 |} < 4$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y ⩽ 3 ， \\ x - y ⩽ 1 ， \\ x ⩾ 1 ， \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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8. 若直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： 3 x - a y + 2 = 0 (a \in R)$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 b \sin A = \sqrt{3} a$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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10. 已知平面 $α ， β$ 和直线 $l$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l / / α ， l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l / / α ， l \subset β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α ， l \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ⊥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a b \geq \frac{1}{4}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\ln (x^{2} + 2)}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = - 2 ， a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} ， n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{40} < a_{100}$ B、 $a_{40} > a_{100}$ C、 $S_{40} < S_{100}$ D、 $S_{40} > S_{100}$

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14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $C_{1} D_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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15. 某简谐运动的图象如图所示.若 $A ， B$ 两点经过 $x$ 秒后分别运动到图象上 $E ， F$ 两点，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{G B} = \vec{E F} \cdot \vec{G B}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A G} > \vec{E F} \cdot \vec{A G}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{G B} = \vec{B F} \cdot \vec{G B}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{E F} > \vec{B F} \cdot \vec{A G}$

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x - \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f [f (x) + 1]$ 的零点个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F ， A ， B$ 分别为椭圆的上､下顶点， $P$ 是椭圆上一点， $A P / / B F ， | A F | = | P B |$ ，记椭圆的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17} - 1}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{8}$

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18. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = C D = D A$ ， $∠ A B C = 90^{°} ， E ， F ， O$ 分别为棱 $B C ， D A ， A C$ 的中点，记直线 $E F$ 与平面 $B O D$ 所成角为 $θ$ ，则 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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二、填空题

19. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{1} = 1 ， a_{4} = 64$ ，则 $q =$ ， $S_{3} =$ .

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20. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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21. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是.

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22. 已知 $a \in R ， b > 0$ ，若存在实数 $x \in [0 ， 1)$ ，使得 $| b x - a | ⩽ b - a x^{2}$ 成立，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是.

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三、解答题

23. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} \cos (x + \frac{π}{6})$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、当 $x \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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24. 如图，直线 $l$ 与圆 $E ： x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 相切于点 $P$ ，与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $T (0 ， t) (t > 0)$ .

(1)、若 $T$ 是抛物线 $C$ 的焦点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $| T E |^{2} = | P A | \cdot | P B |$ ，求 $t$ 的值.

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25. 设 $a \in [0 ， 4]$ ，已知函数 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + 1} ， x \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) \leq \frac{a}{2} x - a + 2$ ；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，若实数 $m$ 满足 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - m^{2}$ ，证明： $f (m - a) - f (1) < \frac{1}{8}$ .

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