山西省晋中市寿阳县2019-2020学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知a＜b ，则下列不等式正确的是（　　）

A、a﹣3＜b﹣3 B、 $\frac{a}{2}$ ＞ $\frac{b}{2}$ C、﹣a＜﹣b D、6a＞6b

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3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ B、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ D、 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2}$

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4. 若分式 $\frac{x}{2 x - 3}$ 有意义，则x的取值应该该满足（）

A、x＝ $\frac{2}{3}$ B、x＝ $\frac{3}{2}$ C、x≠ $\frac{3}{2}$ D、x≠ $\frac{2}{3}$

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5. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x - 8}$ B、 $\frac{120}{x + 8} = \frac{150}{x}$ C、 $\frac{120}{x - 8} = \frac{150}{x}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x + 8}$

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6. 如图．已知四边形ABCD是平行四边形，结合作图痕迹，下列说法错误的是（）

A、 $E F$ 与 $B D$ 垂直 B、 $A G = C H$ C、 $B D$ 平分 $∠ A D C$ D、若 $△ A G B$ 的周长为4，则平行四边形 $A B C D$ 的周长为8

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7. 如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6cm，则对角线AC的长度是（）

A、8cm B、4cm C、3cm D、6cm

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8. 直线l₁：y＝k₁x+b与直线l₂：y＝k₂x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k₂x＜k₁x+b的解集为（　　）

A、x＜﹣1 B、x＞﹣1 C、x＞2 D、x＜2

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9. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，则∠BAC=（　　）．

A、30° B、36° C、40° D、72°

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 的面积为28，对角线交于点O；以 $A B$ 、 $A O$ 为邻边作平行四边形 $A O C_{1} B$ ，对角线交于点 $O_{1}$ ；以 $A B$ 、 $A O_{1}$ 为邻边作平行四边形 $A O_{1} C_{2} B$ ；…依此类推，则平行四边形 $A O_{6} C_{7} B$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{7}{32}$ D、 $\frac{7}{64}$

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二、填空题

11. 分式 $\frac{a}{a + b}$ 与 $\frac{b}{2 a - 2 b}$ 的最简公分母是．

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12. 若分式方程 $\frac{1}{x - 3} + 1 = \frac{a - x}{x - 3}$ 有增根，则 $a$ 的值是

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13. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E$ 平分 $A D C$ 交 $B C$ 于点E， $A F ⊥ D E$ ，垂足为F.若 $∠ D A F = 40 °$ ，则 $∠ B$ 等于.

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15. 如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点E运动秒时，△DEF为等边三角形．

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三、解答题

16. 计算

(1)、因式分解： $x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3}$

(2)、化简： $\frac{a^{2} - b^{2}}{4 a^{2} + 12 a b} \div \frac{a - b}{a + 3 b}$

(3)、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： ${\begin{matrix} 5 x - 1 < 3 (x + 1) \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{x}{3} - 1 \end{matrix}$

(4)、解分式方程： $\frac{x - 2}{x - 1} + 2 = \frac{2}{1 - x}$

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17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x + 3}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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18. 如图，已知 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 在直线 $M N$ 上，若将 $Δ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转，使点C落在直线 $M N$ 上的 $C^{'}$ 处，得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ ．

(1)、请用尺规作图作出 $Δ A B^{'} C^{'}$ ，并标明字母；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若角 $∠ A C B = 118 °$ ，则 $∠ B C^{'} B^{'} =$ ．

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19. 数学课后，小玲和同桌小娟各自拿出自己的漂亮的正方形手帕，她们俩各有一条方格手帕和一条绣花手帕，如图，小玲说：“我的方格手帕的边长比你的方格手帕的边长大0.6 $c m$ ．”小娟说：“我的绣花手帕的边长比你的绣花手帕的边长大0.6 $c m$ ．”设小玲的两块手帕的面积和为 $S_{1}$ ，小娟的两块手帕的面积和为 $S_{2}$ ，请同学们运用因式分解的方法算一算 $S_{2}$ 与 $S_{1}$ 的差．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点E ， E是 $B D$ 的中点，延长 $C D$ 到点F ，使 $D F = C D$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $A E = C E$ ．

(2)、求证：四边形 $A B D F$ 是平行四边形．

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21. 面对新冠肺炎疫情带来的挑战，党中央全面部署疫情防控和经济社会发展重点工作，复工复产按下“快进”键，全国掀起了“为‘鄂’拼单”的热潮．某特产超市看准商机，用10000元购进一批湖北特产玉露茶，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的玉露茶，但第二次进价比第一次每盒下降10元，第二次所购进数量恰好是第一次数量的2倍．

(1)、求第一次购进玉露茶时每盒的价格；

(2)、已知该超市第一批玉露茶在进价基础上提高50%出售．若要保证售完这两批玉露茶的获利不低于11000元，则第二批玉露茶每盒的售价至少应为多少元？

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22. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；再如： $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{2}{x}$ 是分式（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、把假分式 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 化为带分式的形式（写出过程）；

(3)、如果分式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为整数，那么x的整数值为．

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23. （问题情境）：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．

(1)、（操作发现）：
将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则以点A、C、E、C′为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．

(2)、创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．

(3)、（实践探究）：
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，直接写出 $\frac{C^{'} H}{C H}$ 的值．

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