四川省凉山州2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-04-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，属于无理数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1.414 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{4}$

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2. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=135°，则∠β等于（）

A、45° B、60° C、75° D、85°

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3. 下面四个图形中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，已知 $A B = A C ， A B = 5 ， B C = 3$ ，以 $A ， B$ 两点为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 $M ， N$ ，连接 $M N$ 与 $A C$ 相交于点 $D$ ，则 $△ B D C$ 的周长为（）

A、8 B、9 C、11 D、13

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${2a}^{2} ﹣ a^{2} = 1$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

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6. 下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x y - 2$ C、 $x^{2} - y^{2} + 4 x + 4 y$ D、 $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$

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7. 已知 $x$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ 的根，那么代数式 $(\frac{5}{x - 2} - x - 2) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x}$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} - 1$ 或 $- \sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$ 或 $- \sqrt{3} - 1$

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8. 一名射箭运动员统计了45次射箭的成绩，并绘制了如图所示的折线统计图则在射箭成绩的这组数据中，众数和中位数分别是（）

A、18，8 B、8，8 C、8，9 D、18，18

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9. 下列说法正确的是（）
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到 $0 ℃$ 以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

A、①③ B、②④ C、③④ D、①⑤

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10. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（）

A、800sinα米 B、800tanα米 C、 $\frac{800}{sin α}$ 米 D、 $\frac{800}{tan α}$ 米

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11. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是（）

A、4 B、6.25 C、7.5 D、9

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(4 ， 0)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；② $a - b + c < 0$ ；③ $4 a + b + c = 0$ ；④抛物线的顶点坐标为 $(2 ， b)$ ；⑤当 $x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.其中结论正确的是（）

A、①②③ B、③④⑤ C、①③④ D、①④⑤

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二、填空题

13. 若式子 $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. 已知射线 $O A$ ，从 $O$ 点再引射线 $O B$ ， $O C$ ，使 $∠ A O B = 67 ° 3 1^{'}$ ， $∠ B O C = 48 ° 3 9^{'}$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与 $x$ 轴相切于B，与 $y$ 轴交于C（0，1）、D（0，4）两点，则点A的坐标是.

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16.
如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB= $2 \sqrt{2}$ ， ∠BCD=30°，则⊙O的半径为．

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17. 背面完全一样的四张卡片上分别写有数字2、5、0、3，从中任取一张，并用这张卡片上的数字与1的差作为k值，抽到能使一元二次方程 $(k + 1) x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 1 = 0$ 有解的卡片概率是.

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18. 已知 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，则代数式 ${(2 x - 3)}^{2} - (x + y) (x - y) - y^{2}$ 的值为.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2020次得到正方形 $O A_{2020} B_{2020} C_{2020}$ ，如果点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，那么点 $B_{2020}$ 的坐标为.

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三、解答题

20. 计算： $| 2 - \tan 60 ° | - {(π - 3.14)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + \frac{1}{2} \sqrt{12}$ .

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21. 先化简，再求值：（1+ $\frac{3 x - 1}{x + 1}$ ）÷ $\frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中x是不等式组 ${\begin{matrix} 1 - x > \frac{- 1 - x}{2} \\ x - 1 > 0 \end{matrix}$ 的整数解．

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22. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，将边 $A B$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A C$ 上的点 $M$ 处，将边 $C D$ 沿 $C F$ 折叠，使点 $D$ 落在 $A C$ 上的点 $N$ 处.

(1)、求证： $A N = C M$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A C = 10$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积.

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23. 在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：

(1)、本次接受问卷调查的学生总人数是；

(2)、补全折线统计图．

(3)、扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为， m的值为

(4)、若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于第一、三象限内的 $A (3 ， 5) ， B (a ， - 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在y轴上找一点P使 $P B - P C$ 最大，求 $P B - P C$ 的最大值及点P的坐标；

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25. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，

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26. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将 $0. \overset{\cdot}{7}$ 化为分数形式

由于 $0. \overset{\cdot}{7}$ =0.777…，设x=0.777…①

则10x=7.777…②

②﹣①得9x=7，解得x= $\frac{7}{9}$ ，于是得 $0. \overset{\cdot}{7}$ = $\frac{7}{9}$ .

同理可得 $0. \overset{\cdot}{3}$ = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ， $1. \overset{\cdot}{4}$ =1+ $0. \overset{\cdot}{4}$ =1+ $\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$ ，

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）

(1)、（基础训练）
$0. \overset{\cdot}{5}$ = ， $5. \overset{\cdot}{8}$ =；

(2)、将 $0. \overset{\cdot}{2} \overset{\cdot}{3}$ 化为分数形式，写出推导过程；

(3)、（能力提升）
$0. \overset{\cdot}{3} 1 \overset{\cdot}{5}$ = ， $2.0 \overset{\cdot}{1} \overset{\cdot}{8}$ =；

（注： $0. \overset{\cdot}{3} 1 \overset{\cdot}{5}$ =0.315315…， $2.0 \overset{\cdot}{1} \overset{\cdot}{8}$ =2.01818…）

(4)、（探索发现）
①试比较 $0. \overset{\cdot}{9}$ 与1的大小： $0. \overset{\cdot}{9}$ 1（填“＞”、“＜”或“=”）

②若已知 $0. \overset{\cdot}{2} 8571 \overset{\cdot}{4}$ = $\frac{2}{7}$ ，则 $3. \overset{\cdot}{7} 1428 \overset{\cdot}{5}$ =.

（注： $0. \overset{\cdot}{2} 8571 \overset{\cdot}{4}$ =0.285714285714…）

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27. 我州拥有充足的日照、优质的水源和土壤，非常利于冬草莓种植，但草莓的产量对培育技术要求很高.某基地为降低成本、提高产量，发现基地草莓的生长率 $p$ 与温度 $t (^{°} C)$ 有如下关系：如图，当 $10 ⩽ t ⩽ 25$ 时可近似用函数 $p = \frac{1}{50} t - \frac{1}{5}$ 刻画；当 $25 ⩽ t ⩽ 37$ 时可近似用函数 $p = - \frac{1}{160} {(t - h)}^{2} + 0.4$ 刻画.按照经验，基地草莓提前上市的天数 $m$ （天）与生长率 $p$ 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

生长率 $p$

0.2

0.25

0.3

0.35

提前上市的天数 $m$ （天）

0

5

10

15

(1)、求 $h$ 的值；

(2)、写出 $m$ 关于 $p$ 的函数表达式；

(3)、用含 $t$ 的代数式表示 $m$ ；

(4)、天气寒冷，大棚加温可改变草莓生长速度.大棚恒温 $20^{°} C$ 时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调査：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元.因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到 $20 ⩽ t ⩽ 25$ 时的成本为200元/天，但若欲加温到 $25 < t ⩽ 37$ ，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天.问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由.（注：假如草莓上市售出后大棚暂停使用）

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28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B

(1)、求抛物线解析式及B点坐标；

(2)、若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)、如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ $\frac{1}{2}$ PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

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生长率 $p$	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数 $m$ （天）	0	5	10	15