湖北省武汉市2021年数学中考一模试卷（4月)

试卷更新日期：2021-04-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数﹣2的相反数为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、﹣2

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2. 式子 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x \geq 1$ D、 $x \leq - 1$

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3. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（）

A、两张卡片的数字之和等于11 B、两张卡片的数字之和大于或等于2 C、两张卡片的数字之和等于8 D、两张卡片的数字之和等于1

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4. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（）

A、 $y = \frac{3 - π}{x}$ B、 $y = \frac{2^{- 1}}{x}$ C、 $y = \frac{k}{x}$ D、 $y = - \frac{3}{x}$

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8. 为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费 $a$ 元；若超过10吨，则10吨水按每吨 $a$ 元收费，超过10吨的部分按每吨 $b$ 元收费，公司为居民绘制的水费 $y$ （元）与当月用水量 $x$ （吨）之间的函数图象如下，则下列结论错误的是（）

A、 $a = 1.5$ B、 $b = 2$ C、若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元 D、若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水 $18.5$ 吨

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9. 如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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10. 如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁ ，则四边形A₁ABB₁的面积为 $\frac{3}{4}$ ，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂ ， A₂C、B₂C的中点A₂、B₂ ，依次取下去…….利用这一图形，计算出 $\frac{3}{4} + \frac{3}{4^{2}} + \frac{3}{4^{3}}$ +……+ $\frac{3}{4^{n}}$ 的值是（）

A、 $\frac{4^{n - 1} - 4}{4^{n - 1}}$ B、 $\frac{4^{n} - 1}{4^{n}}$ C、 $\frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ D、 $\frac{2^{n - 1} - 1}{2^{n}}$

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二、填空题

11. $\sqrt{36}$ = ．

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12. 热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6.这组数据的中位数是.

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13. 计算： $\frac{6}{a^{2} - 9} - \frac{1}{a - 3} =$ .

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14. △ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝.

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15. 抛物线 y＝ax²＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)²＋c＝3b－bx 的解是

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是.

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三、解答题

17. 化简：4x⁴•x²﹣（﹣2x²）³﹣3x⁸÷x².

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18. 如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．

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19. 某校组织了2000名学生参加“爱我中华”知识竞赛活动，为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了部分学生的得分进行统计：

成绩 $x$ （分）	频数	频率
$50 \leq x < 60$	20	$a$
$60 \leq x < 70$	16	0.08
$70 \leq x < 80$	$b$	0.15

请你根据以上的信息，回答下列问题：

(1)、

a =

，

b =

；

(2)、在扇形统计图中，“成绩

x

满足

50 \leq x < 60

”对应扇形的圆心角的度数是；

(3)、若将得分转化为等级，规定：

50 \leq x < 60

评为

D

，

60 \leq x < 70

评为

C

，

70 \leq x < 90

评为

B

，

90 \leq x < 100

评为

A

.这次全校参加竞赛的学生约有人参赛成绩被评为“

B

”.

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20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上.

(1)、∠ACB的大小为；

(2)、在如图所示的网格中以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的△AB'C'，保留作图痕迹，不要求证明；

(3)、点P是BC边上任意一点，在（2）的旋转过程中，点P的对应点为P'，当线段CP'最短时，CP'的长度为.

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21. 如图，⊙O为Rt△ACB的外接圆，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连AC

(1)、若AC＝CP，求 $\frac{A C}{A P}$ 的值

(2)、若sin∠APC＝ $\frac{7}{25}$ ，求tan∠ABC

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22. 某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：

售价(元/件)

200

210

220

230

……

月销量（件)

200

180

160

140

……

已知该运动服的进价为每件150元.

(1)、售价为x元，月销量为y件.
①求y关于x的函数关系式：

②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；

(2)、由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？

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23. 已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.

(1)、如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；

(2)、如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝ $\frac{3}{5}$ ，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；

(3)、如图③，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝ $\frac{3}{5}$ ，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)．

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24. 如图，开口向上的抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.

(1)、求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.

(2)、当△ACD的内心恰在X轴上时，求 $\frac{k}{a}$ 得值.

(3)、已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于（直接写出结果）.

②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.

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售价(元/件)	200	210	220	230	……
月销量（件)	200	180	160	140	……