2015-2016学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-21 类型：期末考试

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一、填空题

1. 不等式x²＜2x的解集为．

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2. 已知△ABC的面积为S，在边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于 $\frac{S}{3}$ 的概率为．

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3. 某人一周5次乘车上班的时间（单位：分钟）分别为10，11，9，x，11，已知这组数据的平均数为10，那么这组数据的方差为．

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4. 如图程序运行后，输出的结果为．

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5. 设M=5a²﹣a+1，N=4a²+a﹣1，则M，N的大小关系为．

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6. 在等比数列{a_n}中，若a₁+a₃=10，a₂+a₄=﹣30，则a₅= ．

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7. 在锐角△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2 $\sqrt{2}$ ，b=3，cosA= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则角B等于．

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8. 在等差数列{b_n}中，已知b₃ ， b₁₁是方程ax²+bx+c=0的两个实数根，若b₇=3，则 $\frac{b}{a}$ =

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9. 袋中有3个黑球和2个白球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有一个白球的概率为．

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10. 求和 $\sum_{k = 1}^{10} \frac{2}{k (k + 1)}$ ，其结果为．

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11. 不等式组 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \geq 2 \\ 3 x - y \leq 6 \end{matrix}$ ，所表示的可行域的面积是．

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12. 如图所示，客轮由A至B再到C匀速航行，速度为2v海里/小时；货轮从AC的中点M出发，沿某一直线匀速航行，将货物送达客轮，速度为v海里/小时．已知AB⊥BC，且AB=BC=20海里．若两船同时出发，恰好在点N处相遇，则CN为海里．

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13. 在△ABC中，若2sinA+sinB= $\sqrt{3}$ sinC，则角A的取值范围是．

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14. 在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n•a_n+1=（ $\frac{1}{4}$ ）ⁿ^﹣² ，则满足不等式 $\frac{1}{a_{1}}$ + $\frac{1}{a_{2}}$ + $\frac{1}{a_{3}}$ +…+ $\frac{1}{a_{2 n}}$ + $\frac{1}{a_{2 n + 1}}$ ＜2016的正整数n的最大值为．

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二、解答题

15. 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．数据表明，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组比第七组少1人．

(1)、估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

(2)、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x，y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{a x - 3}{x + 1}$ （a∈R）．

(1)、若不等式f（x）＜1的解集为（﹣1，4），求a的值；

(2)、设a≤0，解关于x的不等式f（x）＞0．

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17. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠ $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求c；

(2)、若C= $\frac{2 π}{3}$ ，求△ABC周长的取值范围．

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18. 政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．
方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．

方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.3，1.02⁹=1.20，1.02¹⁰=1.22）．

(1)、10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？

(2)、10年后，哪一种方案的利润较大？

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19. 设函数f（x）=a²x+ $\frac{c^{2}}{x - b}$ （a，b，c为常数，且a＞0，c＞0）．

(1)、当a=1，b=0时，求证：|f（x）|≥2c；

(2)、当b=1时，如果对任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求证：a+2c＞1．

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20. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n﹣3，数列{b_n}的前n项和T_n满足 $\frac{T_{n + 1}}{n + 1}$ = $\frac{T_{n}}{n}$ +1且b₁=1．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、设c_n= $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和P_n；

(3)、数列{S_n}中是否存在不同的三项S_p ， S_q ， S_r ，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

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