天津市南开区2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为 $U = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $S = {- 3, 0, 1}$ ， $T = {- 1, 2}$ ，则 $∁_{U} (S \cup T)$ 等于（）

A、0 B、 ${- 2, 3}$ C、 ${- 2, - 1, 2, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 0, 1, 2}$

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2. 已知 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x > 1$ ， $y > 1$ ”是“ $x y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{2 x}{1 - | x |}$ B、 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

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4. 某校抽取100名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组 $[13 ， 14)$ ，第二组 $[14 ， 15)$ ， $\dots$ ，第五组 $[17 ， 18]$ ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于 $a$ 即为优秀，如果优秀的人数为14人，则 $a$ 的估计值是（）

A、14 B、14.5 C、15 D、15.5

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5. 已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、4π D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 已知 $a = 4^{0.3}$ ， $b = {0.3}^{4}$ ， $c = \log_{3} 10$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{8})$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 设直线 $x - \sqrt{3} y + m = 0 (m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ ， $B$ ．若 $A$ 为 $B C$ 中点，则该双曲线的离心率是（）．

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{| x |}{x + 4} ， - 4 < x < 2 ， \\ \sqrt{\frac{x^{3}}{6 - x}} ， 2 \leq x < 6. \end{array}$ 若方程 $f (x) - a x^{2} = 0$ 有5个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ B、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{4} ， + \infty) \cup {\frac{1}{3}}$

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二、填空题

10. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数为．

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11. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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12. 已知过点 $(1, 1)$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为．

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b + c = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{c - 1}$ 的最大值是．

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14. 对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，则检测2次停止的概率为；设检测次数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A C = 2$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \sqrt{3} | \vec{B A} |$ ，则 $A B =$ ；若 $\vec{A E} = λ \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = λ \vec{F B}$ ， $λ > 0$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的最大值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边的边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 ${(2 \sin A - \sqrt{3} \sin B)}^{2} = 4 \sin^{2} C - \sin^{2} B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = \sqrt{7}$ ，求 $\cos 2 (B - C)$ 的值．

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17. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2 A D = 2$ ， $A D ⊥ D C$ ， $∠ B C D = 45^{\circ}$ ．

(1)、求 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值；

(3)、设 $M$ 为 $P B$ 上一点，且 $P M = 2 M B$ ，若 $A M //$ 平面 $P C D$ ，求 $B C$ 的长．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为点 $A$ ，点 $E$ 的坐标为 $(0, \frac{b}{4})$ ，延长线段 $F_{1} E$ 交椭圆于点 $M$ ， $M F_{2} ⊥ x$ 轴．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、设抛物线 $y^{2} = \frac{24}{5} b x$ 的焦点为 $F$ ， $B$ 为抛物线上一点， $| B F | = \frac{36}{5} b$ ，直线 $B F$ 交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，若 ${| A P |}^{2} + {| A Q |}^{2} = \frac{42}{5}$ ，求椭圆的标准方程．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{2}^{2} = a_{3} + a_{4}$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = a_{1}$ ， $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = - n (n + 1)$ $(n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${\frac{b_{n}}{n}}$ 为等差数列，并求 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和的最大值；

(3)、求 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{3 b_{k}}{a_{k + 1}}$ ．

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20. 已知曲线 $y = \ln (x + m)$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = f (x)$ ，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的极值；

(3)、设 $h (x) = \frac{\ln^{2} x + (1 - a) \ln x + 1}{x}$ ，若存在实数 $x_{1} \in [1, e]$ ， $x_{2} \in [e^{- 1}, 1]$ ，使 $2 h (x_{1}) < x_{2} \ln^{2} x_{2} + (a - 1) x_{2} \ln x_{2} + x_{2}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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