天津市红桥区2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、{2}

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2. “ $| x - 1 | < 2$ 成立”是“ $x (x - 3) < 0$ 成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数y= $\frac{x}{3} + \sin x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照 $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ ， $[100 ， 110)$ ， $[110 ， 120)$ ， $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ 分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在 $[120 ， 130)$ 内的学生人数为（）

A、200 B、240 C、360 D、280

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5. （2015新课标全国I理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A、14斛 B、22斛 C、36斛 D、66斛

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 内单调递增，且 $f (- x) = f (x)$ ，若 $a = f (\log_{\frac{1}{2}} 3)$ ， $b = f (2^{- 1.2})$ ， $c = f (\frac{1}{2})$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1, m) (m > 0)$ 到其焦点的距离为 $5$ ，双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - y^{2} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，若双曲线的一条渐近线与直线 $A M$ 平行，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{25}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ， $x \in R$ ，给出下列四个命题：①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2π$ ；②函数 $f (x)$ 的最大值为1；③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sin 2 x$ ．其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = | \ln x |$ ， $g (x) = {\begin{matrix} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x^{2} - 4 | ， x > 1 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f (x) + m = g (x)$ 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 ， 0]$ B、 $[0 ， \ln 2)$ C、 $(- 2 - \ln 2 ， 0]$ D、 $[0 ， 2 + \ln 2)$

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二、填空题

10. i是虚数单位，则复数 $\frac{3 - i}{1 + 2 i} =$ .

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11. ${(x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.

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12. 已知直线 $a x + y - 2 = 0$ 与圆心为 $C$ 的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $Δ A B C$ 为等边三角形，则实数 $a =$ ．

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13. 2021年是中国共产党成立100周年.现有A ， B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，B队中3人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则 $P (M N) =$ .

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > - 1$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{x} + \frac{y^{2}}{y + 1}$ 最小值为．

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15. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C ， A B = 2 ， B C = 1 ， ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且， $\vec{B E} = λ \vec{B C} ， \vec{D F} = \frac{1}{9 λ} \vec{D C} ，$ 则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $\sin (2 A - B)$ 的值；

(3)、若 $b = 2$ ， $c = 2 a$ ，求边a的值.

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17. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $D F //$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 所成锐二面角的余弦值.

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18. 如图，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0 ， - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
(I)求椭圆 $E$ 的方程；

(II)经过点 $(1 ， 1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $P ， Q$ （均异于点 $A$ ），

问：直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}$ ， $n \geq 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前3项 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；

(2)、求证：数列 ${a_{n} + \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{n}}$ 是等比数列：

(3)、求数列 ${(6 n - 3) \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - m - 1)$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若对于任意 $x \in [e ， e^{2}]$ ，都有 $f (x) < 4 \ln x$ 成立，求实数m的取值范围.

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