天津市河西区2021届高三下学期数学总复习质量调查试卷（一）

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x > \frac{1}{2}$ ”是“ $2 x^{2} + x - 1 > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^{x}} ， y = \log_{a} (x + \frac{1}{2}) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位： $cm$ )，所得数据均在 $[80$ ， $130]$ 上，其频率分布直方图如图所示，若在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100 $cm$ 的株数为（）

A、15 B、24 C、6 D、30

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5. 将长、宽分别为 $4$ 和 $3$ 的长方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角，得到四面体 $A - B C D$ ，则四面体 $A - B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、25π B、50π C、5π D、10π

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6. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则（）

A、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}})$ B、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}})$ C、 $f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$ D、 $f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{3 y^{2}}{100} = 1$ D、 $\frac{3 x^{2}}{100} - \frac{3 y^{2}}{25} = 1$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数 $f (x)$ 的图象
①关于点 $(\frac{π}{12}$ ， $0)$ 对称；②关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称；③在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递增.其中所有正确结论的序号是（）

A、② B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x < 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x ， x \geq 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - a x - b$ 恰有三个零点，则（）

A、 $a < - 1 ， b < 0$ B、 $a < - 1 ， b > 0$ C、 $a > - 1 ， b < 0$ D、 $a > - 1 ， b > 0$

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二、填空题

10. $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{11 - 7 i}{1 - 2 i} =$ .

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11. ${(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为.

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12. 已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0 ， m)$ ，若直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与圆 $C$ 相切于点 $A (- 2 ， - 1)$ ，则圆C的标准方程为.

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13. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 8 y = x y$ ，则 $x + y$ 的最小值是．

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14. 将一颗骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为；以第一次向上点数为横坐标 $x$ ，第二次向上的点数为纵坐标 $y$ 的点 $(x, y)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 15$ 的内部的概率为.

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15. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上， $B C = 3 B E$ ， $C D = λ D F$ ，若 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 1$ ，则 $λ$ 的值为；若 $G$ 为线段 $D C$ 上的动点，则 $\vec{A G} \cdot \vec{A E}$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a > b$ ， $a = 5$ ， $c = 6$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

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17. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A_{1} A = A_{1} C = A C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值；

(3)、求二面角 $A - A_{1} C - B$ 的正弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 2 a_{2}$ ， $b_{3} = 3 a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{2^{a_{n}}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且满足离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4 \sqrt{3}$ ，过原点O且不与坐标轴垂直的直线 $l$ 交椭圆C于M ， N两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点 $A (2 ， 1)$ ，求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + 2 a \ln x$ （其中 $a$ 是实数）.

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = \ln x - b x - c x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 恰为函数 $g (x)$ 的两个零点，且 $y = (x_{1} - x_{2}) g^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的范围是 $[\ln 2 - \frac{2}{3} ， + \infty)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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