天津市和平区2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | | x | < 2}$ ， $C = {- 2, - 1, 0}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、{0} B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $2 < a < 3$ ”是“ $a^{2} - 5 a - 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ .若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）

A、270 B、300 C、330 D、360

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4. 函数 $y = \frac{\tan x}{x^{2} + 1}$ 在 $(- π ， π)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $a = 8^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则三棱锥 $A - B_{1} C D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、6

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线经过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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8. 设函数 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$ ，给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；② $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8})$ 内单调递增；③将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，可得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象.

其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ \ln x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} x + a$ 恰有两个互异的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{8} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0] \cup (\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{8} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{5 - 2 \sqrt{6}}{8}) \cup (\frac{5}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

10. 设i是虚数单位，复数 $\frac{1 - i}{2 + i}$ 的虚部等于．

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11. 在 ${(x - \frac{3}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是.

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12. 已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度为.

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13. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙同学一次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是.

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2} + 3}{a + \sqrt{2} b}$ 的最小值为.

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 5$ ， $C D = 2$ ， $B C = \sqrt{13}$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ ， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A B$ ， $A D$ 上的点，且 $| \vec{A M} | + | \vec{A N} | = 2$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = 2 \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\sin A$ ；

(3)、求 $\sin (B + 2 A)$ 的值.

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17. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形， $A B_{1}$ 与 $A_{1} B$ 交于点 $O$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ .

(1)、求证： $A D //$ 平面 $C O C_{1}$ ；

(2)、求直线 $O C_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值；

(3)、若点 $P$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} P = \frac{2}{3} A_{1} D_{1}$ ，求二面角 $C - A B_{1} - P$ 的正弦值.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设经过点 $F$ 的直线 $l$ 不与坐标轴垂直，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A$ ， $B$ ，且线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，经过坐标原点 $O$ 作射线 $O M$ 与椭圆 $C$ 交于点 $N$ ，若四边形 $O A N B$ 为平行四边形，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列， $S_{2} = 0$ ， $b_{1} - a_{1} = 1$ ， $b_{3} + a_{2} = 5$ ， $2 b_{5} = b_{4} + 3 b_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $c_{n} = \frac{(2 n + 1) a_{n}}{T_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .
①当 $n$ 是奇数时，求 $c_{n} + c_{n + 1}$ 的最大值；

②求证： $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i} < 1$ .

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20. 已知函数 $f (x) = a x \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，直线 $l$ 与 $y = f (x)$ 相切于点 $(e^{\frac{2}{3}} ， f (e^{\frac{2}{3}}))$ ，
①求 $f (x)$ 的极值，并写出直线 $l$ 的方程；

②若对任意的 $x \geq e$ 都有 $f (x) \geq \frac{m}{x} e^{\frac{m}{x}}$ ， $m > 0$ ，求 $m$ 的最大值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 有且只有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ .

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