天津市部分区2021届高三下学期数学质量调查试卷（一）

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {0, 2}$ ， $C = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $- 2 < x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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3. 已知 $a = {0.7}^{2021}$ ， $b = 2021^{0.7}$ ， $c = \log_{0.7} 2021$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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4. 直线 $x - y + 2 = 0$ 与圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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5. 天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试(满分100分)，考试成绩的频率分布直方图如图，数据(成绩)的分组依次为 $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ ，若成绩低于60分的人数是180，则考试成绩在区间 $[60 ， 80)$ 内的人数是（）

A、180 B、240 C、280 D、320

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6. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，则 $f (2) =$ （）

A、-6 B、6 C、-2 D、2

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7. 关于函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 有下述三个结论：
① $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ；② $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减；③将 $f (x)$ 图象上所有点向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象.

其中所有正确结论的编号是（）

A、② B、③ C、②③ D、①②③

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点 $F$ 重合， $C$ 的渐近线恰为矩形 $O A F B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 所在直线( $O$ 为坐标原点)，则双曲线 $C$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{32} - \frac{y^{2}}{32} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{2} | x + 2 | + 1 ， x < 0 \\ x^{3} ， x \geq 0 \end{array}$ ，若存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，当 $a < b < c$ 时，满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a f (a) + b f (b) + c f (c)$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 0)$ B、 $(- 3 ， 0)$ C、 $[- 4 ， 0)$ D、 $[- 3 ， 0)$

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二、填空题

10. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 + i}{2 - i} =$ .

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11. 在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是.(用数字作答).

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12. 已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为 $12 π$ ，则这个正方体的体积为.

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13. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $5 a b + b^{2} = 1$ ，则a+b的最小值为.

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14. 甲､乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲､乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6.若甲､乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲､乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是.

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15. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} = 12$ ，则 $| \vec{A D} | =$ ，若 $M$ 是线段 $A B$ 上的一个动点，则 $\vec{D M} \cdot \vec{C M}$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 b \sin A$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若角 $B$ 为钝角，且 $b = 2 \sqrt{7}$ ， $a = \sqrt{3} c$ ，求 $c$ 和 $\sin 2 C$ 的值.

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17. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为公比大于0的等比数列，且 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + b_{3} = 6$ ， $a_{3} = 3$ ， $a_{4} + 2 a_{6} = b_{5}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = (2 a_{n} - 1) \cdot b_{n + 1}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E F C$ 是平行四边形，且 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = A E = 2$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、求证： $C D ⊥ E F$ ；

(2)、求二面角 $A - D E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 在棱 $C F$ 上，直线 $P B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求线段 $C P$ 的长.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短半轴长为1，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $C$ 的上､下顶点分别为 $B$ ､ $D$ ，动点 $P$ (横坐标不为0)在直线 $y = 2$ 上，直线 $P B$ 交 $C$ 于点 $M$ ，记直线 $D M$ ， $D P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x$ ， $g (x) = (a - 2) x + b$ ， $(a ， b \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，求 $a$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > a$ .

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