北京市延庆区2021届高三数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B$ =（）

A、{-1} B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. 已知 ${a_{n}}$ 为无穷等比数列，且公比 $0 < q < 1$ ，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下面结论正确的是（）

A、 $a_{3} < a_{2}$ B、 $a_{1} \times a_{2} > 0$ C、 ${a_{n}}$ 是递减数列 D、 $S_{n}$ 存在最小值

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3. 已知 $F$ 为抛物线 $C ：$ $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的横坐标为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ”是“ $| x - 2 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的方程为 $y = k (x + 1) + 3$ ，以点 $(1, 1)$ 为圆心且与直线 $l$ 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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7. 已知定义在 $R$ 上的幂函数 $f (x) = x^{m}$ （ $m$ 为实数）过点 $A (2, 8)$ ，记 $a = f (\log_{0.5} 3)$ ， $b = f (\log_{2} 5)$ ， $c = f (m)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 x + 1 ， x > 0 ， \end{array}$ 则不等式 $f (x) - 2^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的 $100 m L$ 血液中酒精含量为 $[0, 20) mg$ ，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到 $[20, 80) mg$ 的即为酒后驾车， $80 mg$ 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $160 mg/mL$ ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少 $20 %$ ，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（）
（参考数据： ${0.8}^{4} = 0.41, \begin{matrix} {0.8}^{6} = 0.26 \end{matrix}, \begin{matrix} {0.8}^{8} = 0.17 \end{matrix}, \begin{matrix} {0.8}^{10} = 0.11 \end{matrix}$ ）

A、4小时 B、6小时 C、8小时 D、10小时

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二、填空题

11. 若复数 $z = (1 - 2 i) (a + i)$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $a$ = ．

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(2, \sqrt{3})$ ，则双曲线的离心率为．

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13. 在二项式 ${(\sqrt{2} + x)}^{7}$ 的展开式中，系数为有理数的项的个数是．

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14. 已知 $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2, ∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{\sin B}{\sin C}$ = ．

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15. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a$ ， $b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828$ …），对于函数 $f (x)$ 以下结论正确的是．
①如果 $a = b$ ，那么函数 $f (x)$ 为奇函数；

②如果 $a b < 0$ ，那么 $f (x)$ 为单调函数；

③如果 $a b > 0$ ，那么函数 $f (x)$ 没有零点；

④如果 $a b = 1,$ 那么函数 $f (x)$ 的最小值为2．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 a \sin^{2} x + a$ ( $a > 0$ )，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： $f (x)$ 的最大值为2；条件②： $f (\frac{π}{2}) = - 1$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、 $a$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 为矩形，且侧面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E ， M ， N$ 分别是 $B C ， B B_{1} ， A_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证 $M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；

（Ⅱ）求 $D - C_{1} E - B_{1}$ 二面角的余弦值

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18. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）

2022年

2月

北京赛区

延庆赛区

张家口赛区

开闭幕式

冰壶

冰球

速度

滑冰

短道

速滑

花

样

滑

冰

高

山

滑

雪

有舵雪橇

钢架雪车

无舵雪橇

跳台滑雪

北欧两项

越野滑雪

单板滑雪

冬季两项

自由式

滑雪

当

日

决

赛

数

5（六）

6（日）

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．

(1)、①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

(2)、若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记

X

为赛区的个数，求

X

的分布列及期望

E (X)

．

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19. 已知函数 $f (x) = - \ln x + 2 x - 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $1$ 的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、设 $g (x) = x^{2} f (x) - 2 f (x)$ ，判断函数 $g (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设 $A B$ 是经过椭圆右焦点 $F$ 的一条弦（不经过点 $P$ 且 $A$ 在 $B$ 的上方），直线 $A B$ 与直线 $x = 2$ 相交于点M ，记PA ， PB ， PM的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，将 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．

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21. 若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足： $\exists m \in N^{*}$ ，对于 $\forall n \geq n_{0} (n_{0} \in N^{*})$ ，都有 $\frac{a_{n + m}}{a_{n}} = q$ （其中 $q$ 为常数），则称 ${a_{n}}$ 具有性质“ $Q (m, n_{0}, q)$ ”．

(1)、若 ${a_{n}}$ 具有性质“ $Q (3, 2, 2)$ ”，且 $a_{2} = a_{4} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 18$ ，求 $a_{3}$ ；

(2)、若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_{3} = c_{3} = 4$ ， $b_{1} + c_{1} = c_{2}$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质“ $Q (2, 1, 2)$ ”，并说明理由；

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