北京市西城区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 已知复数z满足 $\bar{z} - z = 2 i$ ，则z的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、i

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3. 在 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、15 B、-15 C、30 D、-30

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

A、12 B、 $8 + \sqrt{2}$ C、16 D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} - \log_{2} x$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 2)$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $C = 90 ° ， A C = 4 ， B C = 3$ ，点P是 $A B$ 的中点，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C P} =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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7. 在 $△ A B C$ 中， $C = 60 °, a + 2 b = 8, \sin A = 6 \sin B$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $\sqrt{31}$ C、6 D、5

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8. 抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F发出的两条光线a ， b分别经抛物线上的A ， B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 $60 °$ ，则两条反射光线 $a^{'}$ 和 $b^{'}$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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9. 在无穷等差数列 ${a_{n}}$ 中，记 $T_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，则“存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $T_{m} < T_{m + 2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m ，则记 $Δ (X) = M - m$ ．下列命题中正确的是（）

A、已知 $X = {- 1, 1}$ ， $Y = {0, b}$ ，且 $Δ (X) = Δ (Y)$ ，则 $b = 2$ B、已知 $X = [a, a + 2]$ ， $Y = {y | y = x^{2}, x \in X}$ ，则存在实数a ，使得 $Δ (Y) < 1$ C、已知 $X = {x | f (x) > g (x), x \in [- 1, 1]}$ ，若 $Δ (X) = 2$ ，则对任意 $x \in [- 1, 1]$ ，都有 $f (x) \geq g (x)$ D、已知 $X = [a, a + 2]$ ， $Y = [b, b + 3]$ ，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得 $Δ (X \cup Y) \leq 3$

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二、填空题

11. 函数f（x）=lnx+ $\sqrt{1 - x}$ 的定义域为．

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ，若对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (x + m) = c$ （c为常数），则常数m的一个取值为．

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13. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 $[0, 100]$ ；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

① $y = - \frac{1}{20} x^{2} + 6 x$ ；② $y = 10 \sqrt{x}$ ；③ $y = 10^{\frac{x}{50}}$ ；④ $y = 100 \sin \frac{π}{200} x$ ．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则C的渐近线方程是；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M ， N两点，O为坐标原点，则 $△ O M N$ 的面积是．

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15. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 10, a_{2} + a_{4} = - 5$ ，则公比 $q =$ ；若 $a_{n} > 1$ ，则n的最大值为．

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三、解答题

16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $[0 ， a]$ 上，求a的取值范围．
条件①： $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ；

条件②： $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；

条件③； $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

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18. 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中

a \in [0, 1.3]

．

星名	天狼星	老人星	南门二	大角星	织女一	五车二	参宿七	南河三	水委一	参宿四
视星等	-1.47	-0.72	-0.27	-0.04	0.03	0.08	0.12	0.38	0.46	a
绝时星等	1.42	-5.53	4.4	-0.38	0.6	0.1	-6.98	2.67	-2.78	-5.85
赤纬	$- 16.7 °$	$- 52.7 °$	$- 60.8 °$	$19.2 °$	$38.8 °$	$46 °$	$- 8.2 °$	$5.2 °$	$- 57.2 °$	$7.4 °$

(1)、从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；

(2)、已知北京的纬度是北纬

40 °

，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于

- 50 °

时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为

X

颗，求

X

的分布列和数学期望；

(3)、记

a = 0

时10颗恒星的视星等的方差为

s_{1}^{2}

，记

a = 1.3

时10颗恒星的视星等的方差为

s_{2}^{2}

，判断

s_{1}^{2}

与

s_{2}^{2}

之间的大小关系．（结论不需要证明）

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、若对任意的实数 $x \in [1 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的焦点在x轴上，且经过点 $E (1, \frac{3}{2})$ ，左顶点为D ，右焦点为F ．

(1)、求椭圆C的离心率和 $△ D E F$ 的面积；

(2)、已知直线 $y = k x + 1$ 与椭圆C交于A ， B两点，过点B作直线 $y = t (t > \sqrt{3})$ 的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线 $A G$ 经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数列A： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{N} (N \geq 3)$ 的各项均为正整数，设集合 $T = {x | x = a_{j} - a_{i}, 1 \leq i < j \leq N}$ ，记T的元素个数为 $P (T)$ ．

(1)、若数列A：1，2，4，3，求集合T ，井写出 $P (T)$ 的值；

(2)、若A是递增数列，求证：“ $P (T) = N - 1$ ”的充要条件是“A为等差数列”；

(3)、若 $N = 2 n + 1$ ，数列A由 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, 2 n$ 这 $n + 1$ 个数组成，且这 $n + 1$ 个数在数列A中每个至少出现一次，求 $P (T)$ 的取值个数．

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