北京市怀柔区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | 0 < x < 3}$ ，则图中阴影部分的集合为（）

A、{-1} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点的关于实轴对称，若 $z_{1} = 2 + i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $2 - i$ B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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3. 在 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、20 B、-20 C、-40 D、40

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4. 曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的（）

A、焦距相等 B、实半轴长相等 C、虚半轴长相等 D、离心率相等

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5. 要得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. “ $a = 0$ ”是直线 $(a + 1) x + (a - 1) y + 2 a = 0 (a \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、即不充分也不必要条件

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8. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} = 8 a_{2}$ ，则下列式子中的数值不能确定的是（）

A、 $\frac{a_{5}}{a_{3}}$ B、 $\frac{S_{5}}{S_{3}}$ C、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ D、 $\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x (x > 0) \\ 3^{x} (x ⩽ 0) \end{array}$ ，且关于x的方程 $f (x) = - x + a$ 恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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10. 形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（）(取 $\lg 3 \approx 0.4771 ， \lg 2 \approx 0.3010$ )

A、15 B、16 C、17 D、18

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二、填空题

11. 函数 $y = x^{\frac{1}{2}} + \log_{2} (1 - x)$ 的定义域为.

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12. 若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点 $(2, 1)$ ，则C的标准方程是.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2, b = 1, \cos A = \frac{1}{4}$ ，则 $c =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \sin x - \cos (x + φ)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ ，则常数 $φ$ 的一个取值为.

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15. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A B ⊥ B C ， A B = 2 ， C D = 1 ， B C = a (a > 0)$ ，P为线段 $A D$ 上一个动点，设 $\vec{A P} = x \vec{A D} ， \vec{P B} \cdot \vec{P C} = y$ ，对于函数 $y = f (x)$ 给出下列四个结论：

①当 $a = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 4]$ ；

② $\forall a \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (1) = 1$ 成立；

③ $\forall a \in (0 ， + \infty)$ ，函数 $f (x)$ 的最大值都等于4；

④ $\exists a \in (0 ， + \infty)$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为负数.

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A_{1} A = 2$ .

(1)、求证： $C_{1} D / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(3)、求二面角 $C_{1} - B D - D_{1}$ 的余弦值.

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17. 已知函数 $h (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) ， g (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的取值范围.
条件①： $f (x) = h (x) + \sqrt{3} g (x)$ ；条件②： $f (x) = h (x) \cdot g (x)$ ；条件③： $f (x) = h (x) - g (x)$ .

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：

分组区间(单位：克)	$(490, 495]$	$(495, 500]$	$(500, 505]$	$(505, 510]$	$(510, 515]$
产品件数	3	4	7	5	1

包装质量在 $(495, 510]$ 克的产品为一等品，其余为二等品

(1)、估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

(2)、从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

(3)、从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望

E X

与则望

E Y

的大小.(结论不要求证明)

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - \ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = e x$ 平行，求a的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求a的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ ，且 $a = 2 c$ ，若直线 $l ： y = k x + 1$ 与椭圆C交于M ， N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线 $P O ， N O$ 交于点A ， B ，其中O为原点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $\frac{| A B |}{| A M |} = 1$ ，求k的值.

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21. 定义满足以下两个性质的有穷数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 为 $n (n = 3, 4, \cdot \cdot \cdot)$ 阶“期待数列”：① $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = 0$ ；② $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} | = 1$ .

(1)、若等比数列 ${a_{n}}$ 为4阶“期待数列”，求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若等差数列 ${a_{n}}$ 是 $2 k + 1$ 阶“期待数列”( $n = 1, 2, 3, \dots, 2 k + 1$ .k是正整数，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、记 $2 k$ 阶“期待数列” ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ( $n = 1, 2, 3, \dots, 2 k$ .k是不小于2的整数)，求证： $| S_{k} | \leq \frac{1}{2}$ .

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