北京市海淀区2021届高三下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1}$ ， $B = {x | x \geq a}$ ，若 $A \cup B = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、

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2. 如图，在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $P$ ，则复数 $\frac{z}{i}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.若 $a_{5} = S_{5} = 5$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、-5 B、-4 C、-3 D、-2

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4. 在 ${(x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为12，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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5. 函数① $f (x) = \sin x + \cos x$ ，② $f (x) = \sin x \cos x$ ，③ $f (x) = \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) - \frac{1}{2}$ 中，周期是 $π$ 且为奇函数的所有函数的序号是（）

A、①② B、② C、③ D、②③

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6. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ，则 $f (8) - f (- 2) =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、3

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $\vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} |$ （）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知点 $A (x_{1}, x_{1}^{2})$ ， $B (x_{2}, x_{2}^{2})$ ， $C (0, \frac{1}{4})$ ，则“ $△ A B C$ 是等边三角形”是“直线 $A B$ 的斜率为0”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 ${S_{n}}$ 为递减数列 B、 ${S_{n}}$ 为递增数列 C、数列 ${S_{n}}$ 有最大项 D、数列 ${S_{n}}$ 有最小项

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10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为 $2 a$ 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为 $h$ 的平面为 $α$ ，记平面 $α$ 截牟合方盖所得截面的面积为 $S$ ，则函数 $S = f (h)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为2，则数 $a$ 的值是.

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12. 设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为.

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13. 若实数 $α$ ， $β$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 1 + 2 \cos α = 2 \cos β \\ \sqrt{3} + 2 \sin α = 2 \sin β \end{array}$ ，则 $β$ 的一个值是.

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14. 对平面直角坐标系 $x O y$ 中的两组点，如果存在一条直线 $a x + b y + c = 0$ 使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线 $l$ ，记所有的点到 $l$ 的距离的最小值为 $d_{l}$ ，约定： $d_{l}$ 越大，分类直线 $l$ 的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用 $x$ (单位：百元)和网购图书的费用 $y$ (单位：百元)的情况如图所示，现将 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 和 $P_{4}$ 为第Ⅰ组点.将 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 和 $Q_{3}$ 归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为 $L$ .给出下列四个结论：

①直线 $x = 2.5$ 比直线 $3 x - y - 5 = 0$ 的分类效果好；

②分类直线 $L$ 的斜率为2；

③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于 $L$ 的同侧；

④如果从第Ⅰ组点中去掉点 $P_{1}$ ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 $L$ .

其中所有正确结论的序号是.

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15. 已知点 $O (0, 0)$ ， $A (1, 2)$ ， $B (m, 0) (m > 0)$ ，则 $\cos < \vec{O A}, \vec{O B} > =$ ；若 $B$ 是以 $O A$ 为边的矩形的顶点，则 $m =$ .

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三、解答题

16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = \sqrt{6}$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos ∠ A D B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\cos ∠ B D C$ ；

(2)、求 $B C$ 的长.

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17. 在如图所示的多面体中， $A B / / C D$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形， $A B = A E = 1$ ， $A D = C D = 2$ .

(1)、求证：平面 $A B E / /$ 平面 $C D F$ ；

(2)、设平面 $B E F \cap$ 平面 $C D F = l$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角 $B - l - C$ 的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①： $A B ⊥ A D$ ；条件②： $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；条件③：平面 $A E D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

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18. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成 $[0 ， 2]$ ， $(2 ， 4]$ ， $(4 ， 6]$ ， $(6 ， 8]$ ， $(8 ， 10]$ ， $(10 ， 12]$ ， $(12 ， 14]$ ， $(14 ， 16]$ ， $(16 ， 18]$ 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 $(12 ， 14]$ ， $(14 ， 16]$ ， $(16 ， 18]$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在 $(14 ， 16]$ 内的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(3)、以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“ $P_{20} (k)$ ”表示这20名学生中恰有 $k$ 名学生日平均阅读时间在 $(10 ， 12]$ (单位：小时)内的概率，其中 $k = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20$ .当 $P_{20} (k)$ 最大时，写出 $k$ 的值.(只需写出结论)

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19. 已知函数 $f (x) = x \sin x$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的单调性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 内有且只有一个极值点；

(3)、求函数 $g (x) = \frac{f (x) + 1}{\ln x}$ 在区间 $(1 ， π]$ 上的最小值.

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (0 ， 1)$ 两点.

(1)、求椭圆 $M$ 的离心率；

(2)、设椭圆 $M$ 的右顶点为 $C$ ，点 $P$ 在椭圆 $M$ 上（ $P$ 不与椭圆 $M$ 的顶点重合），直线 $A B$ 与直线 $C P$ 交于点 $Q$ ，直线 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $S$ ，求证：直线 $S Q$ 过定点.

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21. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ ，对于 $m \in N^{*}$ ，若 ${a_{n}}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P (m)$ .条件①： $a_{n} > 0 (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ；条件②：存在常数 $T > 0$ ，使得 $a_{n} \leq T (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ；条件③： $a_{n} + a_{n + 1} = m a_{n + 2} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ .

(1)、若 $a_{n} = 5 + 4 \times {(- \frac{1}{2})}^{n} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，且数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P (m)$ ，直接写出 $m$ 的值和一个 $T$ 的值；

(2)、是否存在具有性质 $P (1)$ 的数列 ${a_{n}}$ ？若存在，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若不存在，说明理由；

(3)、设数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P (m)$ ，且各项均为正整数，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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