北京市丰台区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 0}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 2 < x \leq 3}$

查看试题解析
2. 在复平面内，复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

查看试题解析
4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，且 $\sin α = \frac{2}{3}$ .把角 $α$ 的终边绕端点 $O$ 逆时针方向旋转 $π$ 弧度，这时终边对应的角是 $β$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

查看试题解析
5. 若直线 $y = k x + 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的一条对称轴，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、1 D、2

查看试题解析
6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

查看试题解析
7. $P$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $P$ 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、4或9 D、2或18

查看试题解析
8. 大气压强 $p = \frac{压力}{受力面积}$ ，它的单位是“帕斯卡”（Pa ， 1Pa=1N/m²），大气压强 $p$ （Pa）随海拔高度 $h$ （m）的变化规律是 $p = p_{0} e^{- k h}$ （ $k = 0.000126$ m^-1）， $p_{0}$ 是海平面大气压强.已知在某高山 $A_{1}, A_{2}$ 两处测得的大气压强分别为 $p_{1}, p_{2}$ ， $\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{1}{2}$ ，那么 $A_{1}, A_{2}$ 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.693$ ）

A、550m B、1818m C、5500m D、8732m

查看试题解析
9. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，那么“存在实数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{c}$ 成立”是“ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + m | ， x \leq m \\ x^{2} ， x > m \end{array}$ ，若存在实数 $b$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有三个不同的根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

11. 函数 $f (x) = \ln (2 x) + \sqrt{1 - x}$ 的定义域为.

查看试题解析
12. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为(用数字作答).

查看试题解析
13. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{2}, B = 2 A$ ，则 $\cos A =$ .

查看试题解析
14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 48 ， a_{4} + a_{5} = 6$ ，则 $\log_{2} (a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n})$ 的最大值为.

查看试题解析
15. 如图，从长、宽、高分别为 $a ， b ， c$ 的长方体 $A E B F - G C H D$ 中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥 $A - B C D$ .下列四个结论中，所有正确结论的序号是.

①三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3} a b c$ ；②三棱锥 $A - B C D$ 的每个面都是锐角三角形；③三棱锥 $A - B C D$ 中，二面角 $A - C D - B$ 不会是直二面角；④三棱锥 $A - B C D$ 中，三条侧棱与底面所成的角分别记为 $α ， β ， γ$ ，则 $\sin^{2} α + \sin^{2} β + \sin^{2} γ \leq 2$ .

查看试题解析

三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ .

(1)、当 $ω = 1$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、当函数 $f (x)$ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ 时，________. 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值；②求 $f (x)$ 的单调递增区间；③若 $f (x) \geq 0$ ，求 $x$ 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $M$ 是棱 $P B$ 上的点， $O$ 是 $A D$ 中点，且 $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O P = \sqrt{3} O A$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ $O M$ ；

(2)、若 $P M = \frac{3}{5} P B$ ，求二面角 $B - O M - C$ 的余弦值.

查看试题解析
18. 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.

(1)、从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

(2)、从2011年至2020年中任选两年，设 $X$ 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2} ， s_{3}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2} ， s_{3}^{2}$ 的大小.（只需写出结论）

查看试题解析
19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的两个端点分别为 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点，直线 $A P, P B$ 分别交直线 $x = - 6$ 于 $M, N$ 两点，连接 $N A$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $Q$ .
（ⅰ）求证：直线 $A P, A N$ 的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断 $M, B, Q$ 三点是否共线，并说明理由.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + b (b \in R)$ .

(1)、当 $b = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在三个零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .
（ⅰ）求 $b$ 的取值范围；

（ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > 0$ .

查看试题解析
21. 已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n} (n \in N^{*})$ ，现将数列 $A$ 的项分成个数相同的两组，第一组为 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，满足 $b_{i} \geq b_{i + 1} (i = 1, 2, \dots, n - 1)$ ；第二组为 $C : c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ ，满足 $c_{i} \leq c_{i + 1} (i = 1, 2, \dots, n - 1)$ ，记 $M = \sum_{i = 1}^{n} | b_{i} - c_{i} |$ .

(1)、若数列 $A : 1, 2, 4, 8$ ，写出数列 $A$ 的一种分组结果，并求出此时 $M$ 的值；

(2)、若数列 $A : 1, 2, 3, \dots, 2 n$ ，证明： $\max {b_{i}, c_{i}} \geq n + 1 (i = 1, 2, \dots, n)$ ；（其中 $\max {b_{i}, c_{i}}$ 表示 $b_{i}, c_{i}$ 中较大的数）

(3)、证明： $M$ 的值与数列 $A$ 的分组方式无关.

查看试题解析