北京市房山区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $M = {- 2, - 1, 1}$ ，集合 $N = {0, 1}$ ，则 $M \cup N$ 等于（）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、{1}

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2. 下列函数中，值域为 $[0,+ \infty)$ 且为偶函数的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = | x + 1 |$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x - x^{3}$

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3. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列各式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $a b > b^{2}$ D、 $2^{| a |} > 2^{| b |}$

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4. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = - \frac{π}{6}$ B、 $x = - \frac{π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{12}$ D、 $x = \frac{π}{6}$

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5. “十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（）

A、2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元 B、2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加 C、根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元 D、根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ $(3, 0)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. “ $a^{2} = 1$ ”是“直线 $x + a y = 1$ 与 $a x + y = 1$ 平行”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是线段 $O D$ 的中点，若 $\vec{A E} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m - n$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} > S_{8}$ ， $S_{8} = S_{9} < S_{10}$ ，则下面结论错误的是（）

A、 $a_{9} = 0$ B、 $S_{15} > S_{14}$ C、 $d < 0$ D、 $S_{8}$ 与 $S_{9}$ 均为 $S_{n}$ 的最小值

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10. 祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为 $h (0 < h < 2)$ 的平面截该几何体，则截面面积为（）

A、4π B、 $4 π h^{2}$ C、 $π (2 - h^{2})$ D、 $π (4 - h^{2})$

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二、填空题

11. 已知 $i$ 为虚数单位，计算 $\frac{1 - i}{1 + i} =$ ．

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12. ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是（用数字作答）．

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13. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则使得命题“若 $\lg (a + b) > 0$ ，则 $\lg (a b) > 0$ ”为假命题的一组 $a, b$ 的值是.

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14. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对于任意 $x \in D$ ，存在 $y \in D$ ，使 $\frac{f (x) - f (y)}{2} = C$ ( $C$ 为常数)成立，则称函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的“半差值”为 $C$ .下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为 $2$ 的函数是(填上所有满足条件的函数序号).① $y = e^{x} (x + 1)$ ；② $y = x^{3} - 1$ ；③ $y = \log_{2} x$ ；④ $y = \sin x$ .

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三、双空题

15. 抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，则点 $F$ 的坐标为，若抛物线上一点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为2，则 $| A F | =$ .

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四、解答题

16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $B B_{1} = 2$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 上一点，且 $E C = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证：平面 $A B E$ $⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{2 π}{3}, b = \sqrt{7}$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $\sin C$ 的值；

(2)、 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $A B$ 边上的高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；条件②： $\cos A = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ；条件③： $a = 1$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度､完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲､乙二人在2021赛季单板滑雪

U

型池世界杯分站比赛成绩如下表：

分站	运动员甲的三次滑行成绩			运动员乙的三次滑行成绩
分站	第1次	第2次	第3次	第1次	第2次	第3次
第1站	80.20	86.20	84.03	80.11	88.40	0
第2站	92.80	82.13	86.31	79.32	81.22	88.60
第3站	79.10	0	87.50	89.10	75.36	87.10
第4站	84.02	89.50	86.71	75.13	88.20	81.01
第5站	80.02	79.36	86.00	85.40	87.04	87.70

假设甲､乙二人每次比赛成绩相互独立.

(1)、从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

(2)、从上表5站中任意选取2站，用

X

表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求

X

的分布列和数学期望；

(3)、假如从甲､乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪

U

型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

(注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 的平均数)

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x \in (0 ， + \infty)$ ，求证： $f (x) \geq 2 x + 1$ ；

(3)、设 $h (x) = 8 x^{2} - 34$ ，是否存在唯一的自然数 $m$ ，使得 $h (x)$ 与 $f (x)$ 的图象在区间 $(m ， m + 1)$ 上有两个不同的公共点？若存在，试求出 $m$ 的值，若不存在，请说明理由.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $M$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上两个不同的动点（不在 $y$ 轴上），直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，求证：直线 $A B$ 过定点 $N (0, - \frac{5}{3} \sqrt{3})$ .

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21. 对于数列 ${a_{n}}$ ，记 $b_{n} = \max {a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}} (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)$ ，其中 $\max {a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}}$ 表示 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 这 $k$ 个数中最大的数，并称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“控制数列”，如数列 $1 ， 2 ， 3 ， 2$ 的“控制数列”是 $1 ， 2 ， 3 ， 3$ .

(1)、若各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 的“控制数列”为 $1 ， 3 ， 4 ， 4$ ，写出所有的 ${a_{n}}$ ；

(2)、设 $a_{n} = a n^{2} - 2 n$ $(n \in N^{*})$ .
（i）当 $a > 0$ 时，证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{b_{m}}{m} ， \frac{b_{m + 1}}{m + 1} ， \frac{b_{m + 2}}{m + 2} ， \dots$ 是等差数列；

（ii）当 $a \in [- 2 ， 2]$ 时，求 $\frac{b_{1}}{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \frac{b_{4}}{4}$ 的值(结果可含 $a$ ).

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