北京市朝阳区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}, B = {x | x - 1 \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${2, 3}$ D、{3}

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2. 如果复数 $\frac{2 + b i}{i} (b \in R)$ 的实部与虚部相等，那么 $b =$ （）

A、-2 B、1 C、2 D、4

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 1, S_{9} = 18$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、0 B、-1 C、-2 D、-3

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4. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截直线 $y = k x + 2$ 所得弦的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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5. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} - b^{2} + c^{2} + a c = 0$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，“ $\tan A \tan B < 1$ ”是“ $Δ A B C$ 为钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，准线为l ，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且 $| A F | = 5$ ，则 $| P A | + | P O |$ （O为坐标原点）的最小值为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $\sqrt{41}$ D、6

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的点，过 $A_{1}$ 的平面 $α$ 与直线 $P D$ 垂直，当 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动时，平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面面积的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x}, x < 1, \\ - \log_{2} x, x ⩾ 1, \end{matrix}$ 则 $f (0) =$ ； $f (x)$ 的值域为．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (x, y) (x y \neq 0)$ ，且 $| \vec{b} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{b}$ 的坐标可以是．（写出一个即可）

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14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 $A$ 商品获利8元．现计划在“五一”期间对 $A$ 商品进行广告促销，假设售出 $A$ 商品的件数 $m$ （单位：万件）与广告费用 $x$ （单位：万元）符合函数模型 $m = 3 - \frac{2}{x + 1}$ ．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 $x$ 应投入万元．

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15. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在R上的函数，对于 $x_{0} \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1}) (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)$ ，若存在正整数k使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：
①若 $f (x) = e^{x - 1}$ ，则 $f (x)$ 存在唯一一个周期为1的周期点；

②若 $f (x) = 2 (1 - x)$ ，则 $f (x)$ 存在周期为2的周期点；

③若 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， x < \frac{1}{2} ， \\ 2 (1 - x) ， x ⩾ \frac{1}{2} ， \end{array}$ 则 $f (x)$ 不存在周期为3的周期点；

④若 $f (x) = x (1 - x)$ ，则对任意正整数n ， $\frac{1}{2}$ 都不是 $f (x)$ 的周期为n的周期点．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；④ $f (0) = - 2$ ．

(1)、写出能确定 $f (x)$ 的三个条件，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，O是 $A D$ 边的中点， $P O ⊥$ 底面 $A B C D ， P O = 1$ ．在底面 $A B C D$ 中， $B C / / A D ， C D ⊥ A D ， B C = C D = 1 ， A D = 2$ ．

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P O C$ ；

(2)、求二面角 $B - A P - D$ 的余弦值．

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18. 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A ， B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：

	A地区	B地区
2019年人均年纯收入超过10000元	100户	150户
2019年人均年纯收入未超过10000元	200户	50户

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．

(1)、从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；

(2)、在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；

(3)、从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．

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19. 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为 $A (0 ， 1) ， B (0 ， - 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程及焦点的坐标；

(2)、若点M为椭圆C上异于A ， B的任意一点，过原点且与直线 $M A$ 平行的直线与直线 $y = 3$ 交于点P ，直线 $M B$ 与直线 $y = 3$ 交于点Q ，试判断以线段 $P Q$ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = (a x - 1) e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若直线 $y = a x + a$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求证： $a \in (- 1 ， - \frac{2}{3})$ ．

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21. 设数列 $A_{m} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} (m ⩾ 2)$ ，若存在公比为q的等比数列 $B_{m + 1}$ ： $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m + 1}$ ，使得 $b_{k} < a_{k} < b_{k + 1}$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ，则称数列 $B_{m + 1}$ 为数列 $A_{m}$ 的“等比分割数列”．

(1)、写出数列 $A_{4}$ ：3，6，12，24的一个“等比分割数列” $B_{5}$ ；

(2)、若数列 $A_{10}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} (n = 1, 2, \dots, 10)$ ，其“等比分割数列” $B_{11}$ 的首项为1，求数列 $B_{11}$ 的公比q的取值范围；

(3)、若数列 $A_{m}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} (n = 1, 2, \dots, m)$ ，且数列 $A_{m}$ 存在“等比分割数列”，求m的最大值．

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