北京平谷区2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 ⩽ x ⩽ 2 | ， B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${x | 1 < x ⩽ 2}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | x ⩾ - 1}$ D、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 2}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $z$ 等于（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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3. ${(x + \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、28 B、56 C、112 D、256

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4. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）

A、3π B、8π C、12π D、14π

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5. 设 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 25 = 0$ 上的动点， $Q$ 是直线 $x = - 4$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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6. 函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 的图象与函数 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ 的图象的交点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, φ \in R)$ ．则“ $f (x)$ 是偶函数“是“ $φ = \frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $F_{1} (- c, 0) ， F_{2} (c, 0)$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点，双曲线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 的一个交点为 $P$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = \frac{π}{3}$ ，那么双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{5}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{a_{n}}{a_{n}_{+ 1}} = \frac{4 a_{n} + 2}{a_{n}_{+ 1} + 2}$ ，那么 $a_{4}$ 为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $7$ C、 $\frac{1}{10}$ D、10

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10. 某时钟的秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为5cm，秒针绕点 $O$ 匀速旋转，当时间： $t = 0$ 时，点 $A$ 与钟面上标12的点 $B$ 重合，当 $t \in [0, 60] ， A ， B$ 两点间的距离为 $d$ （单位：cm），则 $d$ 等于（）

A、 $5 \sin \frac{t}{2}$ B、 $10 \sin \frac{t}{2}$ C、 $5 \sin \frac{π t}{30}$ D、 $10 \sin \frac{π t}{60}$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \ln (x - 1)$ 的定义域是．

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12. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．

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13. 已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ，在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，那么常数 $ω$ 的一个取值．

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14. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．

根据上述信息，下列结论中正确的是

①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = 1 ， B C = 2$ ，那么 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 等于；若 $A M$ 是 $B C$ 边上的高，点 $P$ 在 $△ A B C$ 内部或边界上运动，那么 $\vec{A M} \cdot \vec{B P}$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P M = M D$ ．

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值

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17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分別为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} c - 2 b \sin C = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $△ A B C$ 的面积．
条件① $b = 3 \sqrt{3} ， a = 2$ ；条件②： $a = 2 ， A = \frac{π}{4}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶
满意	100	120	120	100	150	120
不满意	50	30	30	50	50	80

(1)、从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；

(2)、从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；

(3)、依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，并且经过 $P (0 ， \sqrt{3})$ 点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $P$ 的直线与 $x$ 轴交于 $N$ 点，与椭圆的另一个交点为 $B$ ，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，直线 $P B^{'}$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x + 1}{e^{x}}$

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，过点 $P (- 1 ， 0)$ 可作几条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由．

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21. 已知数列 $A : a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \geq 3)$ ，具有性质P：对任意 $i ， j$ （ $1 \leq i \leq j \leq n$ ） $a_{j} + a_{i}$ 与 $a_{j} - a_{i}$ ，两数中至少有一个是该数列中的一项， $S_{n}$ 为数列 $A$ 的前 $n$ 项和．

(1)、分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P：

(2)、证明： $a_{1} = 0 ，$ 且 $S_{n} = \frac{n a_{n}}{2}$ ；

(3)、证明：当 $n = 5$ 时， $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 成等差数列．

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