人教版高中数学必修5等比数列及前n项和测试

试卷更新日期：2021-04-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{5}$ 等于（）

A、32 B、48 C、62 D、93

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2. 设数列 ${{(- 1)}^{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{n [{(- 1)}^{n} - 1]}{2}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n + 1} + 1}{2}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n} + 1}{2}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n} - 1}{2}$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} - a_{1} = 78$ ， $S_{3} = 39$ ，设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，那么数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、 $\log_{3} 71$ B、 $\frac{69}{2}$ C、50 D、55

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ B、 $S_{n} = 1 - 2 a_{n}$ C、 $S_{n} = a_{n} - 2$ D、 $S_{n} = 2 - a_{n}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项，则 $a_{1}$ 等于（）

A、6 B、4 C、3 D、-1

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6. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 $a_{n}$ （尺），则 $a_{n}$ 与n的关系为（）

A、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n - 1}}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ D、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = \frac{15}{8}$ ， $a_{8} a_{9} = - \frac{9}{8}$ ，则 $\frac{1}{a_{7}} + \frac{1}{a_{8}} + \frac{1}{a_{9}} + \frac{1}{a_{10}} =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $- \frac{10}{3}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2 n} - a_{2 n - 1} = 3^{n} - 1$ ， $a_{2 n + 1} + a_{2 n} = 3^{n} + 5 (n \in N_{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $40$ 项和 $S_{40} =$ （）

A、 $\frac{3^{21} + 197}{2}$ B、 $\frac{3^{20} + 197}{2}$ C、 $9^{10} + 98$ D、 $9^{20} + 98$

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二、多选题

9. 关于递增等比数列 ${a_{n}}$ ，下列说法不正确的是（）

A、当a₁>0时，q>1 B、 $a_{1} > 0$ C、 $q > 1$ D、 $\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} < 1$

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10. 在公比为 $q$ 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 27 a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 3$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{5} = 121$ D、 $2 \lg a_{n} = \lg a_{n - 2} + \lg a_{n + 2} (n \geq 3)$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $S_{n} = 2 n$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，成等差数列 D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ 成等比数列

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，关于数列 ${a_{n}}$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 ${a_{n}}$ 既是等差数列又是等比数列 B、若 $S_{n} = A n^{2} + B n$ ( $A$ ， $B$ 为常数， $n \in N^{*}$ )，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、若 $S_{n} = 1 - {(- 1)}^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n} (n \in N^{*})$ 也成等差数列

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三、填空题

13. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4} + 2$ ， $a_{5}$ 成等差数列，记 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{4}$ .

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2， $S_{99} =77$ ，则 $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{99} =$ .

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15. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1 = 0$ ，若 ${(- 1)}^{n} λ \leq S_{n} + 2 n$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列{a_n}满足 $2 a_{n} = 3 a_{n + 1} - a_{n + 2}$ ，a₂-a₁=1.

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若a₁= $\frac{1}{2}$ ，求数列{a_n}的通项公式.

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18. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n=a_n+1-1.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足2b_n+1+S_n+1=2b_n+2a_n ，证明数列{a_n+b_n}为等差数列，并求其公差.

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19. 已知公比小于1的等比数列 ${a_{n}}$ 中，其前n项和为 $S_{n}, a_{2} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{7}{8}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{2} ⩽ S_{n} < 1$ ．

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20. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0， ${b_{n}}$ 是等差数列，.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = c_{2} = 1$ ， $c_{n} = {\begin{array}{l} 1, 3^{k} < n < 3^{k + 1} \\ a_{k}, n = 3^{k} \end{array}$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{3^{n}} (c_{3^{n}} - 1)}$ 的前n项和.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{1} = - 1$ ， $a_{5} = 3$ ，数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $b_{2} - 2 a_{2} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} + 2 n = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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