山东省威海市文登区2020-2021学年七年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形，一定是轴对称图形的是（　　　）

A、直角三角形 B、梯形 C、平行四边形 D、线段

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2. 以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（）

A、3²,4²,5²； B、2， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ； C、 $1 ， \sqrt{2} ， \sqrt{3}$ ； D、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$

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3. 若点 $A (a - 2, b + 1)$ 在第二象限，则点 $B (3 - a, b + 2)$ 在（　　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是

A、9cm B、12 cm C、12 cm或15 cm D、15 cm

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5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）

A、∠A=∠D B、AB=DC C、∠ACB=∠DBC D、AC=BD

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6. 平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标都乘以 $- 1$ ，纵坐标不变，得到一个图案，下列结论正确的是（　　　）

A、新图案是原图案向下平移了 $1$ 个单位 B、新图案是原图案向左平移了 $1$ 个单位 C、新图案与原图案关于x轴对称 D、新图案与原图案形状和大小完全相同

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7. 下列说法中正确的是（　　　）

A、 $81$ 的平方根是 $9$ B、 $\sqrt{16}$ 的算术平方根是 $4$ C、 $\sqrt[3]{- a}$ 与 $- \sqrt[3]{a}$ 相等 D、 $64$ 的立方根是 $\pm 4$

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8. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E，则下列结论一定成立的是（　　　）

A、 $A C = A E$ B、 $E C = A E$ C、 $B E = A E$ D、 $A C = E C$

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9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）

A、7.5平方千米 B、15平方千米 C、75平方千米 D、750平方千米

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10. 把直线 $y = 3 x$ 向上平移 $1$ 个单位长度，再向左平移 $4$ 个单位长度，得到的直线的表达式为（　　　）

A、 $y = 3 x - 11$ B、 $y = 3 x + 13$ C、 $y = - 3 x - 13$ D、 $y = - 3 - 11 x$

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11. 七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为 $20 cm$ 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（　　　）

A、 $10 {cm}^{2}$ B、 $\frac{25}{2} {cm}^{2}$ C、 $\frac{25 \sqrt{2}}{2} {cm}^{2}$ D、 $25 {cm}^{2}$

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12. 如图， $△ A B C$ ，点D，E在 $B C$ 边上，点F在 $A C$ 边上．将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，恰好与 $△ A E D$ 重合，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 折叠，恰好与 $Δ A E F$ 重合．下列结论：
① $∠ B = 60^{°}$ ② $A B = E C$ ③ $A D = A F$ ④ $D E = E F$ ⑤ $∠ B = 2 ∠ C$

正确的个数有（　　　）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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二、填空题

13. 在实数① $\frac{1}{3}$ ② $\sqrt{8}$ ③ $3.14$ ④ $π$ 中，无理数有．（只填写序号）

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14. 若正比例函数 $y = - (m + 2) x$ 的函数值y随x的增大而增大，且函数图象上的点到两坐标轴的距离相等，则m的值为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点D.连接 $C E$ .若 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $△ C B E$ 的周长为．

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16. $△ A B C$ 为等边三角形，点D为 $A B$ 边上一点，以 $C D$ 为边做等边三角形 $C D E$ ，使点E，A在直线 $C D$ 的同侧，连接 $A E$ ，则 $∠ E A C$ 的度数为．

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17. “赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为 $a$ ， $b (a > b)$ ，且 $a b = 3$ ，大正方形的面积为 $8$ ，则 $a - b =$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ ， $B C$ 在射线 $B M$ 上， $A B = A C$ ．取 $A C$ 的中点 $A_{1}$ ，以 $A_{1} C$ 为腰， $∠ A_{1} C M$ 为顶角作等腰三角形 $A_{1} C C_{1}$ ；取 $A_{1} C_{1}$ 的中点 $A_{2}$ ，以 $A_{2} C_{1}$ 为腰， $∠ A_{2} C_{1} M$ 为顶角作等腰三角形 $A_{2} C_{1} C_{2}$ ；取 $A_{2} C_{2}$ 的中点 $A_{3}$ ，以 $A_{3} C_{2}$ 为腰， $∠ A_{3} C_{2} M$ 为顶角作等腰三角形 $A_{3} C_{2} C_{3}$ $\dots \dots$ ，若 $∠ A = α$ ，则 $∠ A_{n} C_{n} B$ 的度数为．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{12} - 3)}^{0} + \sqrt{24} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、已知 $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} - 3$ ，求 ${(x + y)}^{2021}$ 的立方根；

(3)、如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，且经过点 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

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20. 如图，C，D是线段 $A B$ 上两点， $D F ⊥ A B$ 于点D， $C E ⊥ A B$ 于点C.连接 $B F$ ， $A E$ .若 $E C = B D$ ， $A E ⊥ B F$ .求证： $A E = B F$ ．

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21. 已知线段a，利用尺规作四边形 $A B C D$ ，使 $A B = B C = C D = D A = a$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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22. 如图，将长方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使点C落在E处， $B E$ 交 $A D$ 于点F．

(1)、判断 $△ B D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，求 $△ B D F$ 的面积．

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23. 本学期第四章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：

	平方根	立方根
定义	一般地，如果一个数x的平方等于a，即 $x^{2} = a$ ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．	一般地，如果一个数x的立方等于a，即 $x^{3} = a$ ，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算	求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．	求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质	一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．	正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法	正数a的平方根可以表示为“ $\pm \sqrt{a}$ ”	一个数a的立方根可以表示为“ $\sqrt[3]{a}$ ”

今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．

（类比探索）

(1)、探索定义：填写下表

$x^{4}$	$1$	$16$	$81$
$x$

类比平方根和立方根，给四次方根下定义：

．

(2)、探究性质：

① $1$ 的四次方根是；② $16$ 的四次方根是；

③ $\frac{81}{16}$ 的四次方根是；④ $12$ 的四次方根是；

⑤ $0$ 的四次方根是；⑥ $- 625$ （填“有"或"“没有”）四次方根．

类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：

；

(3)、在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：．

（拓展应用）

① $\pm \sqrt[4]{256 =}$ ；

② $\sqrt[4]{{(- \frac{2}{5})}^{4}} =$ ；

③比较大小： $\sqrt{3}$ $\sqrt[4]{8}$ ．

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24. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地后以另一速度返回A地；乙车匀速前往A地．甲、乙两车距A地的路程y（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示．

(1)、求甲车到达B所用的时间；

(2)、求乙车距A地的路程y（千米）与时间t（小时）的函数表达式；

(3)、求乙车到达A地时，甲车与A地之间的距离．

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25.

(1)、（问题情境）
如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90^{°}$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ．点E，F分别是 $B C$ 和 $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60^{°}$ ，试探究线段 $B E$ ， $E F$ ， $D F$ 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点G，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ ．先证明 $△ A D G ≅ △ A B E$ ，再证明 $△ A E F ≅ △ A G F$ ，进而得出 $E F = B E + D F$ ．你认为他的做法；（填“正确”或“错误”）．

(2)、（探索延伸）
如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = 70^{°}$ ， $∠ D = 110^{°}$ ， $∠ B A D = 100^{°}$ ，点E，F分别是 $B C$ 和 $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 50^{°}$ ，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．

(3)、（思维提升）
小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180^{°}$ ， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，那么 $E F = B E + D F$ ．你认为符合题意吗？请说明理由．

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