江苏省南通市海安市2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列式子是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）

A、AAS B、ASA C、SAS D、SSS

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3. 下列代数式变形正确的是（　　）

A、 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{1}{x - y}$ B、 $\frac{- x + y}{2} = - \frac{x + y}{2}$ C、 $\frac{1}{x y} \div (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ D、 $\frac{x - y}{x + y} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

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4. 对于① $5 a - 3 a b = a (5 - 3 b)$ ，② $(m + 6) (m - 2) = m^{2} + 4 m - 12$ ，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、①是因式分解，②是乘法运算 C、都是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（– 1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（）

A、（– 1，– 2） B、（1，2） C、（1，– 2） D、（–2，1）

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 80 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上（不与顶点 $A ， B$ 重合），则 $∠ B D C$ 的度数可能是（）

A、 $50 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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7. 化简 ${(\sqrt{7 - x})}^{2} + \sqrt{{(x - 8)}^{2}}$ 的结果是（）

A、 $15 - 2 x$ B、 $- 1$ C、 $2 x - 7$ D、1

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8. 如图①，已知 $∠ A B C$ ，用尺规作它的角平分线（如图②）.

尺规作图具体步骤如下，

第1步：以 $B$ 为圆心，以 $r$ 为半径画弧，分别交射线 $B A ， B C$ 于点 $D ， E$ ；

第2步：分别以 $D ， E$ 为圆心，以 $m$ 为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 内部交于点 $F$ ；

第3步：画射线 $B F$ .射线 $B F$ 即为所求.

下列说法正确的是（）

A、 $r$ 有最小限制， $m$ 无限制 B、 $r > 0 ， m > \frac{1}{2} D E$ 的长 C、 $r ⩾ 0 ， m < \frac{1}{2} D E$ 的长 D、连接 $D E$ ，则 $D E$ 垂直平分 $B F$

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9. 已知： $x$ 是整数， $M = \frac{x + 1}{2}, N = \frac{2 x}{x + 1}$ .设 $y = \frac{2}{M} + N$ .则符合要求的 $y$ 的正整数值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， C D$ 平分 $∠ A C B$ .边 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 分别交 $C D ， A B$ 于点 $D ， E$ .以下说法错误的是（）

A、 $∠ B A C = 60 °$ B、 $C D = 2 B E$ C、 $D E = A C$ D、 $\sqrt{2} C D = B C + \frac{1}{2} A B$

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二、填空题

11. 若根式 $\sqrt{x - 11}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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12. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 的值为0，则x= ．

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13. 化简 $x^{2} \cdot {(\frac{2 x}{y})}^{- 2}$ 的结果为.

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14. 如果点 $P (a, 6)$ 与点 $Q (- 7, b)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a + b$ 的值为.

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15. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ C = 90 ° ， B C = 10 ， B D = 6$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为.

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 120 °$ ，若 $D$ 是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ，垂足是 $E$ ，则 $A E ： B E$ 的值等于.

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17. 一辆汽车以 $a km / h$ 的速度由甲市驶往乙市，然后以 $b km / h$ 的速度返回，那么汽车往返两市的平均速度是（用含 $a, b$ 的式子表示）.

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18. 旧知回顾：在七年级学习“平方根”时，我们会直接开方解形如 $x^{2} - 81 = 0$ 的方程（解为 $x_{1} = 9, x_{2} = - 9$ ）.解题运用：方程 $(x - 18) (x + 1) + 17 x = 0$ 解为.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(2 x)}^{3} \cdot y^{4} \div 12 x^{3} y^{2}$ ；

(2)、 ${[(a + 3) (a - 3)]}^{2}$ ；

(3)、 $3 {(m - n)}^{2} - (2 m + n) (- n + 2 m)$ ；

(4)、 $(7 + 4 \sqrt{3}) {(2 - \sqrt{3})}^{2} + (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = - 1$ .

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21. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，有五个点 $A ， B ， C ， D ， E$ .

(1)、哪两个点关于 $x$ 轴对称？（直接填写答案）；

(2)、在 $y$ 轴上找一个点 $F$ ，使点 $F$ 到点 $D ， E$ 的距离之和最短（画出示意图即可，不需要说明理由）.

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22.

(1)、判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；
$\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ； $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ； $\sqrt{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}$ .

(2)、用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明.

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线.

(1)、求证： $S_{△ A B D} ： S_{△ A C D} = A B ： A C$ ；

(2)、若 $A B = 8 ， A C = 6 ， B C = 9$ ，求 $B D$ 的长.

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24. 列方程解应用问题：甲、乙两个小组同时开始登山.

(1)、若山高 $900 m$ ，甲组的攀登速度（单位： $m / min$ ）是乙组的1.2倍，甲组比乙组早 $30 min$ 到达山顶.求甲组的攀登速度；

(2)、如果山高为 $h m$ ，甲组的攀登速度（单位： $m / min$ ）是乙组的 $k$ 倍，甲组比乙组早 $t \min$ 到达山顶.求乙组的攀登速度.

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 上的动点，连接 $C P$ ，点 $B$ 关于直线 $C P$ 的对称点为点 $B^{'}$ ，射线 $A B^{'}$ 与直线 $C P$ 交于点 $Q$ .

(1)、当 $∠ B C P = 25 °$ 时，求 $∠ B A Q$ 的度数；

(2)、当 $B P < A P$ 时，连接 $B Q$ ，求证： $B Q ⊥ A Q$ ；

(3)、当 $∠ B C P = 30 °$ 时，猜想 $B^{'} Q$ 和 $A B$ 的数量关系，并证明.

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26. （阅读材料）
小慧同学数学写作片段

乘法公式“大家族”

学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ”“完全平方公式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 和 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ ；

$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ；

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m n$ ；

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$ .

……

（解题运用）

(1)、在实数范围内因式分解： $x^{2} - (\sqrt{2} + \sqrt{3}) x + \sqrt{6} =$ ；

(2)、设 $x ， y$ 满足等式 $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 12 x - 12 y + 36 = 0$ ，求 $2 x + 2 y$ 的值；

(3)、若正数 $a ， b$ 满足等式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}$ ，求代数式 ${(\frac{b}{a})}^{3} + {(\frac{a}{b})}^{3}$ 的值.

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