山西省柳林县2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin 210 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 B、若向量 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ C、若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D、若向量 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$

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3. 若 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式中，一定成立的是（）

A、 $a + b > b - c$ B、 $a c \geq b c$ C、 $\frac{c^{2}}{a - b} > 0$ D、 $(a - b) c^{2} \geq 0$

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4. 下列函数中，既是奇函数又有零点的增函数的是（）.

A、y=sinx B、y= $\frac{1}{x}$ C、y=x $^{3}$ +x D、y=tanx

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5. 已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ= $\frac{3}{5}$ ，则m等于（）

A、﹣3 B、3 C、 $\frac{16}{3}$ D、±3

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6. $△ A B C$ 的边 $B C$ 所在直线上有一点 $D$ ，满足 $\vec{B C} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A C}$ 可表示为（）

A、 $\vec{A C} = 2 \vec{A D} - 3 \vec{A B}$ B、 $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A D} - \vec{A B}$ C、 $\vec{A C} = 2 \vec{A D} - \vec{A B}$ D、 $\vec{A C} = \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

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7. 若正数m，n满足2m＋n＝1，则 $\frac{1}{m}$ ＋ $\frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、3＋2 $\sqrt{2}$ B、3＋ $\sqrt{2}$ C、2＋2 $\sqrt{2}$ D、3

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8. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 18$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （　　　）

A、12 B、10 C、8 D、2+log₃5

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9. 2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）

A、2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B、随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C、2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大 D、我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值

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10. “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（）

A、2.2升 B、2.3升 C、2.4升 D、2.5升

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11. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = 3 a_{n}$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、 $2 \times 3^{1010} - 2$ B、 $2 \times 3^{1010}$ C、 $\frac{3^{2020} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{1010} + 1}{2}$

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12. 将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，若所得图象与原图象重合，则f（ $\frac{π}{24}$ ）不可能等于（）

A、0 B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 若 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α$ =.

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14. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为．

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15. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0] (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) < 0$ 的解集是．

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16. 已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 3)$

(1)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $λ \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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18. 已知函数 $g (x) = 2 \sin (2 x)$ ，将其向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $y = f (x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间．

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{m} - \frac{4}{x}$ ，且 $f (4) = 3$ .

(1)、求m的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、若不等式 $f (x) - a > 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} \sqrt{a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 在 $f (x)$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小

(2)、若 $F_{1} N ⊥ F_{2} N$ ，求 $△ A B C$ 的周长最大值．

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22. 若 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求等比数列 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 的公比；

(2)、若 $S_{2} = 4$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_{n} > \frac{m}{20}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 都成立的最大正整数 $m$ ．

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