山西省2019-2020学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A ＝ {1 ， 2}$ ， $B ＝ {2 ， 3}$ ，则 $C_{U} (A \cup B) ＝$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 4}$ B、 ${3 ， 4}$ C、{3} D、{4}

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2. 下列关于向量的概念叙述正确的是（）

A、方向相同或相反的向量是共线向量 B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

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3. 已知 $a < 0 < b < 1$ ，那么下列不等式成立的是（）

A、 $a > a b > a b^{2}$ B、 $a b > a b^{2} > a$ C、 $a b > a > a b^{2}$ D、 $a b^{2} > a b > a$

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4. 已知角 $α$ 的终边过点 $(m, - 2)$ ，若 $\tan (π + α) = \frac{1}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、-10 C、10 D、 $- \frac{2}{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x - \frac{π}{4})$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{2}$ 对称

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6. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，那么下列各式中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{D B} = \overset{⇀}{D C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{D E}$ C、 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{A D}$ D、 $\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{B C}$

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7. 定义运算： $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ .若不等式 $| \begin{matrix} 2 k & k x + 3 \\ - 1 & x^{2} \end{matrix} | < 0$ 的解集是空集，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 ${0} \cup [24 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 24]$ C、 $(0 ， 24]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [24 ， + \infty)$

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8. 已知样本9，10，11， $m$ ， $n$ 的平均数是9，方差是2，则 $m n - m - n =$ （）

A、41 B、29 C、55 D、45

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9. 在公比 $q$ 为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{4} = 18$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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10. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人一宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每1小格都比前1小格加1倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就同意给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？如图所示的程序框图是为了计算上面这个问题而设计的，那么在“ ”和“ ”中，可以先后填入（）

A、 $S = 2 S ， n ⩽ 64 ?$ B、 $S = 2 S + 1 ， n ⩽ 64 ?$ C、 $S = S + 2 n ， n ⩽ 64 ?$ D、 $S = S + n ， n ⩽ 2^{63} ?$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin ω π x (ω > 0)$ 在 $(0, 2]$ 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ C、 $[\frac{3}{4}, \frac{5}{4})$ D、 $[\frac{3}{4}, 1)$

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} - 4 x + 3 - a | + a$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值是3，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 3]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $[0, 1]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ .

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14. 两根相距 $3 m$ 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于 $1 m$ 的概率为.

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{16}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (- x + 5), x \leq 1 \\ 2^{x} - m, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上存在最小值，则 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $f (α) = \frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (- \frac{3 π}{2} - α) \tan (π - α)}{\tan (- α - π) \sin (π + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $\tan α = 2$ ，求 $f (2 α)$ 的值.

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18. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \sin A \cos C + c \sin A \cos B = a c \sin B$ .

(1)、证明： $b c = a$ ；

(2)、若 $c = 3, \cos C = \frac{1}{6}$ ，求 $A C$ 边上的高.

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20. 某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在 $90 cm ~ 150 cm$ 之间），将他们的身高（单位： $cm$ ）分成： $[90 ， 100)$ ， $[100 ， 110)$ ， $[110 ， 120)$ ，…， $[140 ， 150]$ 六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于 $[100 ， 110)$ 内与 $[110 ， 120)$ 内的频数之和等于身高属于 $[120 ， 130)$ 内的频数.

(1)、求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；

(2)、求身高处于 $[120 ， 130)$ 内与 $[110 ， 120)$ 内的频率之差；

(3)、用分层抽样的方法从身高不低于 $130 cm$ 的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于 $140 cm$ 的概率.

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21. 设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A$ ， $ω$ ， $φ$ 为常数，且 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $f (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，求 $\cos (2 θ + \frac{7 π}{12})$ 的值.

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22. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 与等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = \frac{5}{2}$ ，且 $a_{3} = - 10 b_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$ ，是否存在正整数 $k$ ，使 $c_{n} \geq c_{k}$ 恒成立？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

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