辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若角 $600 °$ 的终边上有一点 $(- 4, a)$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、4 D、 $- 4 \sqrt{3}$

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x - 5, 3), \overset{⇀}{b} = (2, x)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则由x的值构成的集合是（）

A、 ${2, 3}$ B、 ${- 1, 6}$ C、{2} D、{6}

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3. 如图，正方形 $O^{'} A^{'} C^{'} B^{'}$ 的边长为 $1 c m$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $2 (1 + \sqrt{3})$ D、6

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4. 已知 $0 < α < π$ ， $2 \sin 2 α = \sin α$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\cos A = \frac{1}{2}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）

A、 $\frac{200}{3} m$ B、100m C、 $\frac{400}{3} m$ D、90m

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7. 在直角三角形 $A B C$ 中，角 $C$ 为直角，且 $A C = B C = 2$ ，点 $P$ 是斜边上的一个三等分点，则 $\overset{⇀}{C P} \cdot \overset{⇀}{C B} + \overset{⇀}{C P} \cdot \overset{⇀}{C A} =$ （）

A、0 B、4 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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8. 若将函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数 $g (x)$ 的图象，函数 $g (x)$ （）

A、图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、最小正周期是 $\frac{π}{2}$ C、在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上递增 D、在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上最大值是 $1$

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9. 已知 $m ， l$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出 $m ⊥ l$ 的所有序号是（）
① $m ⊥ α ， l ⊥ β ， α ⊥ β$ ；② $m ⊥ α ， l // β ， α // β$ ；③ $m \subset α ， l ⊥ β ， α // β$ ；④ $m \subset α ， l // β ， α ⊥ β$

A、①②③ B、①② C、②③④ D、③④

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10. $Δ A B C$ 中，若 $\sin (A + B - C) = \sin (A - B + C)$ ，则 $Δ A B C$ 必是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{5}{2})$ B、 $[1, \frac{5}{2})$ C、 $(\frac{5}{2}, 4)$ D、 $[\frac{5}{2}, 4)$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{37} + 1$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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14. 在钝角 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = 4$ ，则最大边 $c$ 的取值范围是．

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15. 已知 $\frac{π}{2} < α < π, 0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\tan α = - \frac{3}{4}$ ， $\cos (β - α) = \frac{5}{13}$ ，则 $\sin β$ 的值为.

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16. 已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，斜边 $A B = 2$ ， $P$ 是平面 $A B C$ 外的一点，且满足 $P A = P B = P C$ ， $∠ A P B = 120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边与单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 在第一象限交于点 $P$ ，且点 $P$ 的坐标为 $(\frac{3}{5}, y)$ .

(1)、求 $\tan θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin^{2} (2 π + θ) - \cos^{2} (4 π + θ)}{\sin θ \cos θ}$ 的值.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， $B = 30 °$ ，且 $2 a \sin A - (2 b + c) \sin B = (2 c + b) \sin C$ .

(1)、求 $\sin (A - C)$ 的大小；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ ， $△ A B D$ 均为边长为2的正三角形.

(1)、若 $A C = \sqrt{6}$ ，求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos (x + \frac{π}{4}) \cos (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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21. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ，且 $Δ A B C$ 为锐角三角形，求 $2 a - b$ 的范围.

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22. 如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D B = B C ， B D ⊥ A C$ ，点 $M$ 是棱 $B B_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $B_{1} D_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求证： $M D ⊥ A C$ ；

(3)、试确定点 $M$ 的位置，使得平面 $D M C_{1} ⊥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ .

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