辽宁省辽阳市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin (- 480 °)$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）

A、三棱柱 B、四棱锥 C、四棱柱 D、五棱台

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3. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i^{8}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b = 3$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $a =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、29 D、 $\sqrt{29}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $9 - 3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + 9}{2}$ D、 $3 \sqrt{3} + 9$

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形， $B C ＝ 2 A B ＝ 4$ ， $A B ⊥ B C$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 下列函数中，周期为 $π$ 的奇函数是（）

A、 $y = \cos \frac{π + x}{2}$ B、 $y = \sin (2 x + 3 π)$ C、 $y = \cos (π + 2 x)$ D、 $y = | \cos (x - \frac{π}{2}) |$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{B E} = 3 \vec{B M}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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10. 已知直线 $x = \frac{5 π}{24}$ 是函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{1}{2} \sin ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} (0 < ω \leq 8)$ 图象的一条对称轴，则 $ω =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知正方形 $A B C D$ 的边长是4，将 $△ A B C$ 沿对角线 $A C$ 折到 $△ A B^{'} C$ 的位置，连接 $B^{'} D$ .在翻折过程中，给出以下结论：① $A B^{'} ⊥$ 平面 $B^{'} C D$ 恒成立；②三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的外接球的表面积始终是 $32 π$ ；③当二面角 $B^{'} - A C - D$ 为 $\frac{π}{2}$ 时， $B^{'} D = 4$ ；④三棱锥 $B^{'} - A C D$ 体积的最大值是 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ .其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 将函数 $y = \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 得到函数 $y = f (x)$ 的图象，若 $y = f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是.

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14. 在复平面内，复数 $z = 2 i$ 对应的点为 $Z$ ，将向量 $\vec{O Z}$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ ，所得向量对应的复数是.

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15. 已知点 $P (1, 3)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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16. 已知 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且满足 $\vec{O A} + 3 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，延长 $A O$ 交 $B C$ 于点 $D$ .若 $\vec{B D} = λ \vec{D C}$ ，则 $λ =$ .

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在① $b \cos A \cos C = a \sin B \sin C - \frac{1}{2} b$ ；② $b \sin B \cos C + \frac{1}{2} c s i n 2 B = \sqrt{3} a \cos B$ ；③ $\frac{b \cos A}{\cos B} + a = 2 c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知 $D$ 是 $B C$ 上的一点， $B C = 2 B D > A B$ ， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $A B = 6$ ，若_________，求 $△ A C D$ 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = C C_{1}$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是棱 $A B$ ， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} C ⊥ C_{1} E$ .

(2)、证明：平面 $D E F //$ 平面 $B_{1} G H$ .

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19. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，向量 $\vec{a} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{a} |$ .

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\cos (x - \frac{π}{6}), \sin (x - \frac{π}{6}))$ ，向量 $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (- α)$ ， $f (\frac{5 π}{2} - α)$ 是关于 $x$ 的方程 $25 x^{2} - 10 x + t = 0$ 的两根，且 $α \in (0, π)$ ，求 $\frac{\sin α \tan α}{\tan α - 1}$ $+ \frac{\cos α}{1 - \tan α}$ 及 $t$ 的值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点， $A F ⊥ P C$ ，垂足为 $F$ .

(1)、证明： $P D //$ 平面 $A C E$ .

(2)、求三棱锥 $A - C E F$ 的体积.

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22. 已知函数 $f (x) = Asin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $A$ ， $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的单调递减区间；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上恰有2020个零点，求 $b - a$ 的取值范围.

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