辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin 1110^{\circ}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. $z = (1 + i) (2 - i)$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为（）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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3. 若向量 $\vec{a} = (6, m)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数m的值为（）

A、-12 B、12 C、-3 D、3

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4. 下列说法正确的是（）

A、侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C、棱柱中各条棱长都相等 D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

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5. 若 $\frac{3 \sin α + 5 \cos α}{\sin α - 2 \cos α} = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、﹣ $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{23}{16}$ D、﹣ $\frac{23}{16}$

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6. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则 $ω ， φ$ 的值分别是（）

A、 $ω = 1 ， φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 1 ， φ = - \frac{π}{3}$ C、 $ω = 2 ， φ = - \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2 ， φ = - \frac{π}{3}$

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7. 求sin10°sin50°sin70°的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$

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8. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）

A、 $\sqrt{65 - 12 \sqrt{3}}$ km B、 $\sqrt{65 - 12 \sqrt{13}}$ km C、 $\sqrt{35 - 12 \sqrt{3}}$ km D、 $\sqrt{35 - 12 \sqrt{13}}$ km

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二、多选题

9. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（）

A、8+ $\sqrt{33}$ B、8 $\sqrt{3} + \sqrt{161}$ C、8﹣ $\sqrt{33}$ D、 $8 \sqrt{3} - \sqrt{161}$

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10. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m∥α，m∥β，则α∥β C、若m∥n，m⊥α，则n⊥α D、若m∥α，α⊥β，则m⊥β

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11. 在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）

A、 ${| \vec{A B} |}^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ B、 ${| \vec{B C} |}^{2} = \vec{C B} \cdot \vec{A C}$ C、 ${| \vec{A C} |}^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{B D}$ D、 ${| \vec{B D} |}^{2} = \vec{B A} \cdot \vec{B D} = \vec{B C} \cdot \vec{B D}$

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12. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P﹣DEF，则在此正四面体中，下列说法正确的是（）

A、PG与DH所成的角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ B、DF与PE成角 $\frac{π}{2}$ C、GH与PD所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、PG与EF所成角余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = \frac{10}{{(3 + i)}^{2}}$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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14. 化简： $\frac{\sin (α + \frac{π}{2}) \tan (π + α) \cos (π - α)}{\cos (- α) \tan (π - α)} =$ ．

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15. 在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的正三角形，BD $⊥$ 平面ABC且BD＝4，则该三棱锥的外接球的体积为．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝1，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |+| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |的最小值是，最大值是．

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四、解答题

17. 已知： $\vec{a} = (2 \sin x ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - 2 \sqrt{3} \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \sqrt{3} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 及单调递增区间；

(2)、当 $x \in (\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6})$ 时，求函数 $f (x)$ 的值城．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \cos A = c - \frac{1}{2} a$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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19. 如图，AB是圆柱OO₁底面的直径，PA是圆柱OO₁的母线，C是圆O上的点，Q为PA的中点，G为 $△ A O C$ 的重心，

(1)、求证： $B C ⊥ P C$

(2)、求证： $Q G ||$ 平面 $P B C$ ．

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20. 已知：sinα+cosα＝ $\frac{1}{2}$ ，α∈（π，2π）．

(1)、求sinα﹣cosα的值；

(2)、求tanα，tan $\frac{α}{2}$ 的值．

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21. 如图，在边长为 $4$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ．点 $E$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $C B$ 上，点 $E$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合， $E F ⊥ A C$ ， $\cdot \dots \dots \dots \dots \dots$ ．沿 $E F$ 将 $△ C E F$ 翻折到 $△ P E F$ 的位置，使平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B E F D$ ．

(1)、若 $A O ： O C = 5 ： 3$ ，求棱锥 $P - A B D$ 的体积；

(2)、当 $P B$ 取得最小值时，求二面角 $P - B F - D$ 的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 ω x + φ) + 1 (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，函数f（x）的图象经过点 $(- \frac{π}{12} ， 1)$ 且f（x）的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、将函数y＝f（x）图象上所有的点向下平移1个单位长度，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 倍，得到函数y＝h（x）图象，令函数g（x）＝h（x）+1，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

(3)、若 $m [1 + \sqrt{3} (f (\frac{x}{8} - \frac{π}{12}) - 1)] + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos x ⩽ 0$ 对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．

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