江苏省盐城市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、 ${- 1, 0}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、 1000、 800 （单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（）

A、108 B、96 C、156 D、208

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3. 从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，则选中的是1男1女的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 若直线 $x + a y + 1 = 0$ 与直线 $a x + 4 y + 2 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、-2 B、0 C、2 D、±2

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5. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y （单位：百元）与当天的平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：（）

x/℃

20

22

24

21

23

y/百元

1

3

6

2

3

若y与x 具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 必过的点为（）

A、 $(22, 3)$ B、 $(22, 5)$ C、 $(24, 3)$ D、 $(24, 5)$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 7 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 13 = 0$ 的公切线有（）．

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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7. 已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）

A、π B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x - 1, x \leq 0 \\ \log_{a} (x + 2), x > 0 \end{array}$ 若存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup [1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$

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二、多选题

9. 设函数 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{8} ， 0)$ 对称

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{10}, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $b = \sqrt{2}$ 或 $b = 3 \sqrt{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为6

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11. 已知边长为2的菱形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，现沿着BD将菱形折起，使得 $A C = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ C、点A到平面 $B C D$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ D、直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ .若直线 $y = x + a$ 与函数 $y = f (x)$ 的图像在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1 - \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α - \cos^{2} α =$ .

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14. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体” ，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为.

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15. 已知点 $P$ 在圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上，点 $A (6 ， 0)$ ， $M$ 为 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $\tan ∠ M O A$ 的最大值为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，圆M为 $△ B C D$ 的内切圆，点P为圆上任意一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知点A、B、C的坐标分别为 $A (3, 0)$ 、 $B (0, 3)$ 、 $C (\cos α, \sin α)$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

(1)、若 $| \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B C} = - 1$ ，求 $\frac{2 {sin}^{2} α + sin 2 α}{1 + tan α}$ 的值.

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18. 某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如下：

x的分组	$[- 0.20, 0)$	$[0, 0.20)$	$[0.20, 0.40)$	$[0.40, 0.60)$	$[0.60, 0.80)$
企业数	13	40	35	8	4

(1)、估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例；

(2)、求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， $∠ B C D = 120^{°}$ ，侧面PAB $⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A C = P A = 2.$

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$

(2)、过AC的平面交PD于点M，若 $V_{M — P A C} = \frac{1}{2} V_{P — A C D}$ ，求三棱锥 $P - A M C$ 的体积．

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20. 设函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} - 2^{- x} (a \in R)$

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点对称，函数 $g (x) = f (x) + \frac{3}{2}$ ，求满足 $g (x_{0}) = 0$ 的 $x_{0}$ 的值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) + 4^{x} + 2^{- x}$ 在 $x \in [0, 1]$ 的最大值为 $- 2$ ，求实数a的值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos C = c (1 + \cos A)$ .

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围；

(2)、若 $b = 2$ ，且 $B \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆心在x轴上的圆C经过点 $A (3 ， 0)$ ，且被y轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点

(1)、求当满足 $\vec{O M} + 2 \vec{O N} = \vec{0}$ 时对应的直线l的方程；

(2)、若点 $P (- 3 ， 0)$ ，直线 $P M$ 与圆C的另一个交点为R，直线 $P N$ 与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线 $R T$ 的斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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x/℃	20	22	24	21	23
y/百元	1	3	6	2	3