江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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2. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知两点 $P_{1} (1, - 2, 1)$ ， $P_{2} (- 2, 1, 3)$ ，则这两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{22}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、18

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3. $△ A B C$ 的内角A．B．C的对边分别为a、b、c，若 $b \sin A - a \sin C = 0$ ，则此三角形为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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4. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (\frac{1}{2} ， a)$ ， $C (- 1 ， 2)$ 三点共线，则 $a$ 的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5. 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知两直线m，n，两平面 $α$ ， $β$ ，若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则m与n的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、平行或异面

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7. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，若 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\cos β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β$ 的大小为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若 $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P A ⊥ P C$ ，且 $P A = P B = P C = 2$ ，则球O的体积为（）

A、48π B、 $4 \sqrt{3} π$ C、12π D、 $32 \sqrt{3} π$

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二、多选题

9. 设直线l经过点 $A (2, 1)$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、x+2y=0

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10. 已知m，n，l是三条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，以下说法错误的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $n \subset α$ ， $m / / n$ ，则 $m / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / l$

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11. 过点 $(2, 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0$ 的切线l，则直线l的方程为（）

A、 $3 x + 4 y - 6 = 0$ B、 $4 x + 3 y - 8 = 0$ C、 $x - 2 = 0$ D、 $x + 2 = 0$

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12. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $B = 45 °$ ， $c = 6$ ，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、6

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三、填空题

13. 直线l平行于直线 $x - 3 y = 0$ ，且与y轴交于点 $(0, - 2)$ ，则l与两坐标轴围成的三角形面积为．

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14. 过点 $A (1, - 1)$ ，且与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 100$ 切于点 $B (8, 6)$ 的圆的方程为．

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15. 设圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，定点 $A (3, 4)$ ，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是．

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16. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形， $S D ⊥$ 面ABCD， $S D = A B$ ，则异面直线SB与AC所成角的大小为，二面角S-AB-D的大小为．

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC边上一点， $\cos C = \frac{3}{5}$ ， $C D = 7$ ， $A C = 5$ ．

(1)、求AD的长；

(2)、若 $A B = 8$ ，求角B的大小

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18. 已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 的值域

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19. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $D D_{1}$ 的中点，AC交于BD点O．

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面MAC；

(2)、求证：平面 $B D D_{1} ⊥$ 平面MAC．

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20. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (5, 1)$ ，AB边上的高所在的直线 $l_{2}$ 的方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ ，角A的平分线所在直线 $l_{2}$ 的方程为 $2 x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求直线AB的方程；

(2)、求点A的坐标；

(3)、求直线AC的方程．

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21. 某人准备利用一直角墙角用栅栏围成一四边形花圃OAPB．如图所示，OA，OB为墙面，PA，PB为栅栏．为了美观，要求 $∠ P A O = ∠ P B O = 60 °$ ，已知栅栏总长20米．设 $∠ P O A = a$ ．

(1)、用 $α$ 表示PA和PB；

(2)、当 $α$ 为何值时，四边形花圃OAPB的面积最大，并求出最大值．

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ ，定点 $P (0 ， 1)$ ，过P作直线 $l$ 与圆O交于M，N两点．

(1)、若 $M N = \sqrt{6}$ 求直线l的方程：

(2)、若 $\vec{M P} = \frac{1}{3} \vec{P N}$ ，求直线l的方程：

(3)、设 $M^{'}$ 为M关于 $x$ 轴的对称点，直线 $N M^{'}$ 与MN分别交x轴于 $A (a ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ ，试问乘积ab是否为定值．请说明理由．

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