河北省重点中学2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列几何体中是四棱锥的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ，公差 $d = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、30 B、35 C、40 D、45

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3. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4}, \sin A = \frac{5 \sqrt{2}}{8}, A C = 4$ ，则 $B C =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 若关于x的不等式 $a x^{2} + a x + 2 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[0, 4]$ C、 $(0, 8]$ D、 $[0, 8]$

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5. 已知点 $A (2, 5), B (1, 6)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5}^{2} + 2 a_{6} a_{8} + a_{9}^{2} = 100$ ，则 $a_{5} + a_{9} =$ （）

A、5 B、10 C、20 D、50

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7. 已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + m y + m + 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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8. 已知 $a > c$ ， $b > d$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} > {(c + d)}^{2}$ B、 $a b + c d - a d - b c > 0$ C、 $a b > c d$ D、 $a - b > c - d$

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9. 已知直线 $l : x + y + 3 = 0$ ，直线 $m : 2 x - y + 6 = 0$ ，则 $m$ 关于 $l$ 对称的直线方程为（）

A、 $x + 6 y + 3 = 0$ B、 $x - 6 y + 3 = 0$ C、 $2 x + y + 6 = 0$ D、 $x - 2 y + 3 = 0$

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10. 已知m，n为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，给出下列命题：
①若 $m / / α, n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ ；②若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $m \subset α, n \subset β, α / / β$ ，则 $m // n$ ； ④若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ，则 $n // α$ ．

其中所有真命题的序号是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、②

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11. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = \frac{1}{2} a + b \cos A, 2 b = a + c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰非等边三角形 B、直角非等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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12. 在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = B C = 5 ， S B = A C = \sqrt{17} ， S C = A B = \sqrt{10}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、20π B、25π C、26π D、34π

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二、填空题

13. 已知直线l的斜率为2，且经过点 $(- 2, - 5)$ ，则直线l的一般式方程为．

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14. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为．

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15. 有A，B，C三座城市，其中A在B的正东方向，且与B相距 $100km$ ，C在A的北偏东30°方向，且与A相距 $300km$ ．一架飞机从A城市出发，以 $400km/h$ 的速度向C城市飞行，飞行 $30min$ 后，接到命令改变航向，飞往B城市，此时飞机距离B城市 $km$ ．

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16. 已知正数a，b满足 $a + b = 2$ ，则 $(3 + \frac{2}{a}) (8 + \frac{2}{b})$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 4, a_{4} = 10$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 70$ ，求n的值．

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18. 求出满足下列条件的直线方程．

(1)、经过点 $A (- 3, 2)$ 且与直线 $x + 3 y - 4 = 0$ 垂直；

(2)、经过点 $B (2, 7)$ 且在两条坐标轴上的截距相等．

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $b \sin C = - \sqrt{3} c \cos B$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}, a c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D A = D C = A C = 4$ ，平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 在棱 $B C$ 上.

(1)、若 $M$ 为 $B C$ 的中点，证明： $B C ⊥ D M$ ；

(2)、若三棱锥 $A - C D M$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $M$ 到平面 $A B D$ 的距离.

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21. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，O为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且 $A B = 2$ ．

(1)、证明： $O D //$ 平面 $A B_{1} C$ ．

(2)、若异面直线 $O D$ 与 $A B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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22. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 14, a_{n + 1} - 3 a_{n} + 4 = 0$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 2}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} a_{n}}{(3^{n} + 1) (3^{n + 1} + 1)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}, m \geq T_{n}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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