河北省石家庄市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 经过 $A (1, 1), B (2, 3)$ 两点，则 $l$ 的斜率为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 不等式 $\frac{x - 3}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、{x|﹣3＜x＜1} B、{x|1＜x＜3} C、{x|x＜1或x＞3} D、{x|x＜﹣3或x＞1}

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3. 如果x＞0，y＞0，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则xy有（）

A、最小值4 B、最大值4 C、最大值 $\frac{1}{4}$ D、最小值 $\frac{1}{4}$

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4. 已知 $a < 0 < b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{b}{a} < 1$

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5. 正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，异面直线AA₁与BC₁所成的角为（）

A、60° B、45° C、30° D、90°

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6. 已知数列{a_n}为等比数列，若q＝2，S₄＝1，则S₈＝（）

A、 $- \frac{1}{15}$ B、﹣255 C、1 D、17

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7. 已知点 $A (1 ， 3)$ ，动点 $P (x ， y)$ 的坐标满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq x \\ x + y \leq 2 \end{array}$ ，则 $| A P |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 平面α与平面β平行的条件可以是（）

A、α内有无数条直线都与β平行 B、直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C、α内的任何直线都与β平行 D、直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α

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9. 直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（）

A、y＝4x+5 B、y＝4x﹣5 C、y＝4x﹣9 D、y＝4x+9

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10. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 $5 \sqrt{3}$ ，则h的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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11. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是同一球面上的四个点，其中 $Δ A B C$ 是正三角形， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A D = 2 A B = 12$ ，则该球的表面积为（）

A、 $64 \sqrt{3 π}$ B、96π C、192π D、48π

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12. 如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2），且所有项数之和为 $N$ ，那么称该数列为“ $N$ 型标准数列”，例如，数列 $3, 4, 5, 6, 7$ 为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C′＝4，B'C＝ $\frac{3}{2}$ ，则原图中AB边上中线的实际长度为.

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14. 不等式 $2 x^{2} - k x + k \geq 0$ 对于任意的实数 $x$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 S_{n} (n \geq 1),$ 则 $a_{n} =$ ．

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16. 已知a＞1，b＞1，ab＝8，则 $\frac{1 o g_{2} a \cdot 1 o g_{2} b}{1 o g_{2} (4 a)}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知直线l₁：x+y+2＝0；l₂：mx+2y+n＝0.

(1)、若l₁⊥l₂ ，求m的值；

(2)、若l₁//l₂ ，且他们的距离为 $\sqrt{5}$ ，求m，n的值.

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18. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积 $S = \frac{1}{4} a c \cdot \tan B$ .
（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b.

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19. 已知数列{a_n}为等差数列，公差d＞0，且a₁a₄＝4，S₄＝10.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n＝ $\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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20. 已知AB是底部B不可到达的建筑物，A是建筑物的最高点，为测量建筑物AB的高度，先把高度为1.5米的测角仪放置在CD位置，测得A的仰角为45°，再把测角仪放置在EF位置，测得A的仰角为75°，已知DF＝4米，D，F，B在同一水平线上，求建筑物AB的高度.

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21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB//DC，AB＝2CD，∠BCD＝90°.

（Ⅰ）求证：PB⊥AD；

（Ⅱ）求点C到平面PAB的距离.

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22. 已知 $f (x) = a \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x} + 1 - a$ ， $x \in R$ ， $a \in R$ .

(1)、解关于 $x$ 的方程 $f (x) = (a - 1) \cdot 4^{x}$ ；

(2)、设 $h (x) = 2^{- x} f (x)$ ， $a \geq \frac{1}{2}$ 时，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 1, 1]$ 总有 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \leq \frac{a + 1}{2}$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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23. 已知点 $P (5, 0)$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 3 = 0$ .
（Ⅰ）写出圆 $C$ 的标准方程，并指出圆心 $C$ 的坐标和半径；

（Ⅱ）设 $Q$ 为 $C$ 上的点，求 $| P Q |$ 的取值范围.

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