河北省秦皇岛市卢龙县2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（）

A、共面 B、平行 C、异面 D、平行或异面

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2. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $| a | > | b |$ C、 $a + c > b + c$ D、 $a c > b c$

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3} ， b = 2 \sqrt{2} ， ∠ B = 45^{°}$ ，则∠ $A$ 等于（　　）

A、30°或150° B、60° C、60°或120° D、30°

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4. 不等式 $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 1, 4]$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [4, + \infty)$ C、 $[- 4, 1]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [1, + \infty)$

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5. 等差数列{a_n}中，已知a₅=1，则a₄+a₅+a₆=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，已知高为3的棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥 $B_{1} - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{6} = 8$ ，则 $a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项为（）

A、6 B、4 C、-4 D、±4

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8. 对于任意实数 $x$ ，不等式 $a x^{2} - a x + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[0, 4)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为3的等差数列.若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4} ，$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10} =$ （）

A、165 B、138 C、60 D、30

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A = 2 \cos B \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、不能确定

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11. 已知 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 是球 $O$ 的球面上的四个点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2 B C = 6$ ， $A B ⊥ A C$ ，则该球的半径为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $6 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sin (B - A) + \sin (B + A) = 3 \sin 2 A$ ，且 $c = \sqrt{7}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ C、1或 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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二、填空题

13. 底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为 cm² ．

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14. 已知不等式 $x^{2} - a x + b < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则a+b的值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$ ，则角A的大小为．

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16. 已知 $a > 0, b > 0$ ，并且 $\frac{1}{a}, \frac{1}{2}, \frac{1}{b}$ 成等差数列，则 $a + 9 b$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 解关于x的不等式 $42 x^{2} + a x - a^{2} < 0$ .

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ， $a_{4} + a_{7} = 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n} - 2} + n$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{10}$ 的值．

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19. 在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $2 a \sin B = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 6$ ， $b + c = 8$ ，求 △ $A B C$ 的面积．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在边长为 $a$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $P C ⊥$ 面 $A B C D$ ， $E$ ､ $F$ 是 $P A$ 和 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $F$ 到平面 $P B C$ 的距离.

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22. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁和BCC₁B₁均为正方形，且所在平面互相垂直．
（Ⅰ）求证：BC₁⊥AB₁；

（Ⅱ）求直线BC₁与平面AB₁C₁所成角的大小．

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