初中数学浙教版七年级下册第五章分式强化提升训练

试卷更新日期：2021-04-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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2. 关于分式 $\frac{x + a}{3 x - 2}$ ，当x=-a时，（）

A、分式的值为零 B、当 $a \neq - \frac{2}{3}$ 时，分式的值为零 C、分式无意义 D、当a= $\frac{2}{3}$ 时，分式无意义

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3. 下列分式中不是最简分式的是（）

A、 $\frac{a^{2} + 9}{a + 3}$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2} + 2 x y}{y - x}$ C、 $\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + x - 2}$ D、 $\frac{a b + 3 a^{3}}{a b + 3 b^{3}}$

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4. 已知 $\frac{5x+1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{11}{x-2}$ ，则A的取值是（）

A、-3 B、3 C、-6 D、6

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5. 已知：a，b，c三个数满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{3}, \frac{b c}{b + c} = \frac{1}{4}, \frac{c a}{c + a} = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{abc}{ab + bc + ca}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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6. 已知公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ （ $R_{1} \neq R_{2}$ ），则表示 $R_{1}$ 的公式是（）

A、 $R_{1} = \frac{R_{2} - R}{R R_{2}}$ B、 $R_{1} = \frac{R R_{2}}{R - R_{2}}$ C、 $R_{1} = \frac{R (R_{1} + R_{2})}{R_{2}}$ D、 $R_{1} = \frac{R R_{2}}{R_{2} - R}$

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7. 结论：
①若a + b + c = 0 ，且abc ≠ 0 ，则方程a + bx + c = 0 的解是 x = 1

②若a (x -1) = b(x -1) 有唯一的解，则a ≠b；

③若b = 2a ，则关于 x 的方程ax + b = 0(a ≠ 0)的解为 x = $- \frac{1}{2}$ ；

④若a + b + c = 1，且a ≠0 ，则 x = 1一定是方程ax + b + c = 1的解．其中结论正确个数有（）．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{2 m}{2 - x} = 3$ 的解为正实数，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $m < - 6$ 且 $m \neq 2$ B、 $m > 6$ 且 $m \neq 2$ C、 $m < 6$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 6$ 且 $m \neq 2$

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10. 学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是（）

A、设甲班每天植树x棵，则 $\frac{80}{x} = \frac{70}{x - 5}$ B、设乙班每天植树x棵，则 $\frac{80}{x + 5} = \frac{70}{x}$ C、设甲班在x天植树80棵，则 $\frac{80}{x} - \frac{70}{x} = 5$ D、设乙班在x天植树70棵，则 $\frac{70}{x} = \frac{80}{x + 5}$

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二、填空题

11. 如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ．若 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{3}{7}$ ，则S₃= ．

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12. 若 $a b c \neq 0$ ，则 $\frac{| a b |}{a b} + \frac{| b c |}{b c} + \frac{| a c |}{a c}$ = .

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13. 如果 $\frac{1}{(2 a - 1) (2 a + 1)} = \frac{m}{2 a - 1} + \frac{n}{2 a + 1}$ 对于自然数 $a \neq \frac{1}{2}$ 成立，则 $m =$ ， $n =$ ．

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14. 当k＝时，方程 $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{k}{x^{2} - 1}$ 会产生增根．

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15. 某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是米.

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16. 已知实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a b c = - 1, a + b + c = 4, \frac{a}{a^{2} - 3 a - 1} + \frac{b}{b^{2} - 3 b - 1} + \frac{c}{c^{2} - 3 c - 1} = \frac{4}{9}$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} =$ ．

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三、综合题

17.

(1)、计算： $\frac{a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} + \frac{a^{2} - 4 b^{2}}{a^{2} - a b}$

(2)、 $(\frac{2 x - 4}{x + 2} - x + 2) \div \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

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18. 解分式方程

(1)、 $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$

(2)、 $\frac{1}{2 - x} = \frac{1}{x - 2} - \frac{6 - x}{3 x^{2} - 12}$

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19. 阅读材料：
关于x的方程： $x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{1}{c}$ ；

$x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c}$ （即 $x + \frac{- 1}{x} = c + \frac{- 1}{c}$ ）的解是 $x_{1} = c$ $x_{2} = - \frac{1}{c}$ ；

$x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{2}{c}$ ；

$x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{3}{c}$ ；……

(1)、请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 $x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c} (m \neq 0)$ 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。

(2)、由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： $x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$ 。

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20. 某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 $S$ 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.

(1)、已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.

(2)、若甲工程队每天可以改造 $a$ 米道路，乙工程队每天可以改造 $b$ 米道路，（其中 $a \neq b$ ）.现在有两种施工改造方案：
方案一：前 $\frac{1}{2} S$ 米的道路由甲工程队改造，后 $\frac{1}{2} S$ 米的道路由乙工程队改造；

方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.

根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.

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21. 张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.

(1)、周日早上 $6$ 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 $6$ 千米和 $1.6$ 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 $220$ 米，求张康和李健的速度分别是多少米 $/$ 分？

(2)、两人到达绿道后约定先跑 $6$ 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 $a$ 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 $b$ 分钟.
①当 $a = 1.2$ ， $b = 6$ 时，求李健跑了多少分钟？

②求张康的跑步速度多少米 $/$ 分？（直接用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

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22. 姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．

(1)、如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点?若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．

(2)、如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置?请你设计两种方案．

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23. 周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度 $=$ 无风时骑车速度 $+$ 风速，逆风速度 $=$ 无风时骑车速度 $-$ 风速）

(1)、如果家到书店的路程是 $12 k m$ ，无风时琪琪骑自行车的速度是 $8 k m / h$ ，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的 $\frac{5}{3}$ 倍，求风速是多少？

(2)、如果设从家到书店的路程为 $s$ 千米，无风时骑车速度为 $v$ 千米/时，风速为 $a$ 千米/时 $(v > a)$ ，求出有风往返一趟的时间，无风往返一趟的时间，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.

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24. 阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\frac{3}{2}$ =1+ $\frac{1}{2}$ 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 2}$ ，…这样的分式是假分式；如 $\frac{2 x - 1}{x^{2} + x}$ 与 $\frac{5}{3 x^{2} + 2}$ …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。

例如：将分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。

方法1： $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ = $\frac{(x^{2} + 3 x) - x - 5}{x + 3}$ = $\frac{x (x + 3) - (x + 3) - 2}{x + 3}$ =x-1- $\frac{2}{x + 3}$

方法2：由分母为x+3，可设x²+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)

∵(x+3)(x+a)+b=x²+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b)

∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b)

对于任意x，上述等式均成立，

∴ ${\begin{cases} a + 3 = 2 \\ 3 a + b = - 5 \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \end{cases}$

∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2

∴ $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ = $\frac{(x + 3) (x - 1) - 2}{x + 3}$ = $\frac{(x + 3) (x - 1)}{x + 3} - \frac{2}{x + 3}$ =x-1- $\frac{2}{x + 3}$

这样，分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。

【材料2】对于式子2+ $\frac{3}{1 + x^{2}}$ ，由x²≥0知1+x²的最小值为1，所以 $\frac{3}{1 + x^{2}}$ 的最大值为3，

所以2+ $\frac{3}{1 + x^{2}}$ 的最大值为5。

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)、分式 $\frac{2}{x + 2}$ 是分式(填“真”或“假”)。

(2)、把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① $\frac{2 x + 3}{x}$ =+。

② $\frac{x^{2} - 3 x + 5}{x - 3}$ =+。

(3)、把分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。

(4)、当x的值变化时，求分式 $\frac{2 x^{2} - 4 x + 8}{x^{2} - 2 x + 2}$ 的最大值。

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初中数学浙教版七年级下册第五章 分式 强化提升训练

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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